分かりません。

質問

学校で宿題を出されたのですが、全然分かりません。どなたか解いて解説お願いします。
問１　ａを定数とし、空間内の２直線ｇ、hをｇ：ｘ＝ｙ＝ｓ+１，ｚ＝２ｓ-１　
　　　ｈ：ｘ＝２ｔ+ａ，ｙ＝３ｔ+２，ｚ＝ｔ+１とする。
　　　２直線ｇ，ｈが交わるようにａの値を求めよ。

問２　原点をＯとし、３点Ａ(２，０，０)，Ｂ(０，４，０)，Ｃ(０，０，３)
　　　をとる。原点Ｏから３点Ａ，Ｂ，Ｃ，を含む平面に下ろした垂線の足を
　　　Ｈとする。このときのＨの座標を求めよ。

　お願いします。出来れば今日中に・・・。

回答No.8

ametsuchi · ベストアンサー

まだパニックですか…？乗りかかった船ですから、もう一寸だけ。点数は要りません。お節介ながら小手先の答えを出すことより考え方の方が大事だと思いますので。

a + by + cz = d ………………………Equ.1)
a^2 + b^2 + c^2 = 1…………………Equ.2)

という「ヘッセの標準形」ですが、平面上の点P(x,y,z)は必ずこの式を充たします。そしてとても大事なことですが、

１） 面法線N=(a,b,c) と言うのは、面に直交する単位ベクトルのことです。これも図形処理をやろうと思ったら必須の知識！。
２） ｄは、原点からこの平面に下ろした垂線の足の長さ、即ち、原点から平面までの距離になっていることです。ｄは取り方によっては、<0にもなり得ますが、ここでは>=0としてよいです。

３点A,B,Cも、原点からこの平面への垂線の足もこの式を充たします。先ずこのことをしっかり理解してください。で、求めたい足をH（xh, yh, zh）としましょう。

ｄは「足の長さ」ですから、

H=ｄN=(d*a, d*b, d*c)…………………Equ.3)

を求めればよいのです。何故なら単位ベクトル、即ち長さが１の面に垂直なベクトルに足の長さを掛けると、「足の位置」が求まるからです。

ですから、A(2,0,0)、B(0.4.0)、C(0.0.3)をEqu.1)に代入すると、
2a = d
4b = d
3c = d…………………………………Equ.4)

が得られます。これを解こうにも、未知数が４つ、式が３つですから、そのままでは解けません。ですが、a^2 + b^2 + c^2 = 1ですから、Equ.4)のa,b,cを代入すると、

(d/2)^2 + (d/4)^2 + (d/3)^2
=(61 / 144) * d^2 = 1

従って、
d^2 = 144/61
d = +- 12/sqrt(61)……………………Equ.5)

です。ｄは＋－、２通り求まりますが、a,b,cの符合も変わるので、
d = 12/sqrt(61)………………………Equ.6)

としてよいです。（sqrt(61)というメンドイ計算を実際にやるわけではないです）

これをEqu.4)に代入すると、Equ.3)から、
d*a=72/61
d*b=36/61
d*c=48/61

が求まります。

以上の方法は、我々、図形処理を職業として行なっている者からすると、極めて素直なやり方なんですが、ヘッセの標準形において、何故ｄが足の長さになっているかという証明が抜けています。学校での課題としてなら他の方のやり方の方がベターかも知れません。

お礼

こんなに詳しく説明していただいて、有難うございます。詳しい説明のおかげでやっとわかりました。でも、ax+ by + cz = d とか、a^2 + b^2 + c^2 = 1とか、初めて見ました。言われてみれば、確かに面に直交する単位ベクトルに垂線の長さをかけてやれば求めるHが決まりますね。このようなやり方初めて見ました。絶対学校でやってないと思います。あとちょっと気になったことがあったのですが、Equ.1っていうのは、(1)とかのことで、ａ^２はaの2乗で、sqrt(61)はルート61のことですよね？そう思って解いていきましたが・・・。まあ、そしたら答えが出たのでそういうことかなあと・・・。いや～、それにしても自分でやっていって答えが出たときにちょっとした感動が起こりました。数学って解けたときの感動があるからいいですよね。答えは1つなのにいろいろな考え方ができるし。っていうか、ちょっと長く書きすぎたでしょうか？この位でやめときます。こんなに詳しく分かりやすく説明して下さって本当に有難うございました。とっても、感謝しています。