統計分析の方法と意味

質問

下記(1)，(2)は5日ごとにＡ区とＢ区の値を示したもので、
Ａ区とＢ区の間に有意差があるのかを調べたいのです。
時間的経過があるので単純に一元配置の分散分析では、おかしいと思い、単回帰分析を行ったところ、理解できない結果が出てきました。結果の意味が十分出来ていないのか、そもそもこのような分析に単回帰分析を用いること自体が間違っているのでしょうか。間違っているなら、正しい分析を教えてください。分析はエクセルで行っています（エクセル統計も入っています）。
統計について全く知識がありませんので、専門用語をあまり使わず、教えてください。

(1)Ａ区　50.4，44.1，34.1，15.8
　　Ｂ区　67.5，46.8，39.5，16.6
　一元配置の分散分析を行うと両区に有意差はない。
　単回帰分析を行うと５％水準で有意差がある。
単回帰分析の結果は正しい気がする。

(2)Ａ区　12.6，4.2，1.9，1.4
　　Ｂ区　12.0，5.9，2.0，1.0
一元配置の分散分析を行うと両区に有意差はない。
　単回帰分析を行うと５％水準で有意差がある。
単回帰分析の結果は変な気がする（有意差がないのが正しいのでは）

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> 時間的経過があるので単純に一元配置の分散分析では、おかしいと思い

(1)と(2)のどちらも同じ列にある数値が同じ日の観測値である（(1)の場合なら50.4と67.5が同じ日の観測値）ならば、この判断は正しいと思いますが、

> 単回帰分析を行ったところ

というのは、どういう解析を行ったのでしょうか？

単回帰分析をどう行ったのかはわかりませんが、母集団が正規分布に従うとして良いなら、対応のある平均値の差の検定を行うのが普通でしょう。

Rを使って検定してみると、どちらも有意水準５％では有意差は認められませんでした。
(1)は、サンプルサイズを大きくすれば（もっとデータの数を増やせば）有意差が認められるかもしれませんね。

> x
A B
1 50.4 67.5
2 44.1 46.8
3 34.1 39.5
4 15.8 16.6
> t.test(x$A, x$B, paired = TRUE)

Paired t-test

data: x$A and x$B
t = -1.7773, df = 3, p-value = 0.1736
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-18.138794 5.138794
sample estimates:
mean of the differences
-6.5

> y
A B
1 12.6 12.0
2 4.2 5.9
3 1.9 2.0
4 1.4 1.0
> t.test(y$A, y$B, paired = TRUE)

Paired t-test

data: y$A and y$B
t = -0.3837, df = 3, p-value = 0.7268
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.858744 1.458744
sample estimates:
mean of the differences
-0.2

具体的な検定方法は参考URLを見ていただくとして、簡単に説明してみましょう。

例えば、A区の方がB区よりも高い値が得られるとします。
しかし、日によって値はどちらの値も上がったり下がったりするとします。
ただし、その上がり具合や下がり具合はA区とB区で違いはないとします。
誤差がない場合は

日　　　A区　B区
　１　　１０　　　８
　６　　　６　　　４
１１　　１３　　１１
１６　　　９　　　７

として、これに誤差を足して、

日　　　　A区　　　　　B区
　１　　 9.868316　　7.752282
　６　　 5.590540　　2.566576
１１　　12.250299　　9.961466
１６　　 9.742208　　7.814065

というようなデータで考えてみます。
このデータはA区の方がB区より２高いので有意差が認められて欲しいのですが、残念ながら、普通に対応のない平均値の差の検定を行っても、有意水準５％では有意差は認められません。

> t.test(z$A, z$B, paired = FALSE, var.equal = TRUE)

Two Sample t-test

data: z$A and z$B
t = 1.1171, df = 6, p-value = 0.3067
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-2.784638 7.463125
sample estimates:
mean of x mean of y
9.362840 7.023597

しかし、対応のある平均値の差の検定を行うと、有意水準５％で有意差が認められました。

> t.test(z$A, z$B, paired = TRUE)

Paired t-test

data: z$A and z$B
t = 9.7538, df = 3, p-value = 0.00229
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
1.576003 3.102484
sample estimates:
mean of the differences
2.339243

この違いは、対応のある場合はAとBの差をとることで、日の変動を消し、

日　　　A区-B区
　１　　2.116034
　６　　3.023964
１１　　2.288833
１６　　1.928143

として、A区-B区が０かどうかを検定することで、検出力が上がったためです。

参考URL：

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Average/paired-t-test.html

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
ただ、母集団が正規分布に従う場合は良いのですが、サンプル数が少なく、正規分布にならない場合はどうしたらよいのでしょうか。
エクセル統計を見るとウィルコクソンの符号順位和検定なるものがあるのですが、これを使えばよろしいのでしょうか。
また、各日にそれぞれの区に反復がある場合は、繰り返しのある2元配置で行えばよろしいのでしょうか。

回答No.2

noname#227064

回答:No.1補足
> ただ、母集団が正規分布に従う場合は良いのですが、サンプル数が少なく、正規分布にならない場合はどうしたらよいのでしょうか。

多分、貴方のいうところの「サンプル数」はサンプルサイズのことだと思います。
サンプル数とサンプルサイズは異なります。
ご質問の場合、どちらもサンプル数は2でサンプルサイズはそれぞれ４です。

と、細かいことはさておき、正規分布にならない場合はどうするかですが。

> エクセル統計を見るとウィルコクソンの符号順位和検定なるものがあるのですが、これを使えばよろしいのでしょうか。

対応がある場合はこの検定方法でOKです。
しかし、サンプルサイズが４ずつ、つまり4組のデータでは有意水準５％での検定ができません。
サンプルサイズは5以上必要です。

> また、各日にそれぞれの区に反復がある場合は、繰り返しのある2元配置で行えばよろしいのでしょうか。

日と区のそれぞれの組み合わせで十分な反復があるとか、正規分布に従う母集団であるならば、繰り返しのある二元配置分散分析で良いです。
駄目な場合は、繰り返しのある二元配置分散分析のノンパラメトリック版はないようなので、
・日ごとにA区とB区を比較する（検定の多重性が問題になりますが）
・区と日の組み合わせごとに平均等を求めてA区とB区の比較を行う
・有意水準が設定よりも異なることを覚悟して分散分析を行う
のどれかしかないのではと思います。

お礼

非常にわかりやすく回答していただきましてありがとうございました。早速、お教え頂いたことを利用して解析してみます。