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方程式の問題なのですが・・・

xの方程式 cos^2x+2ksinx+1=0 (0≦x≦π)がある。 これが解を持つようなkの値の範囲を求めよ。 判別式を使って求めようとしたのですが、 k^2+2≧0 となってしまい、 どうやってkの範囲を出せばよいのか困っています。 簡単だと思いますが、教えてください。

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sinx=t とおくと 0≦x≦π⇔0≦t≦1 であり,方程式は 1-t^2+2kt+1=0 t^2-2kt-2=0 となります.この方程式が0≦t≦1に解をもつ条件は,関数 f(t)=t^2-2kt-2=(t-k)^2-k^2-2(0≦t≦1) のグラフがt軸と共有点をもてばよいです. (1)k<0のときf(t)(0≦t≦1)は単調増加し, 最小値:f(0)=-2<0 最大値:f(1)=-2k-1>0 であるから k<-1/2 (2)0≦k≦1のとき 最大値:f(0)=-2<0またはf(1)=-2k-1<0 なのでこのときは常にf(t)<0(0≦t≦1) (3)k>1のときf(t)(0≦t≦1)は単調減少し, 最大値:f(0)=-2<0 なのでこのときは常にf(t)<0(0≦t≦1) (1),(2),(3)よりk<-1/2

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質問者からのお礼

自分の間違っているところが分かりました! 分かりやすく教えて下さってありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

0 ≦ x ≦ π という制限がついているので、0 ≦ sin x ≦ 1 です。 二次方程式 (1-ss)+2ks+1 = 0 を解いて、s = k±√(kk+2). これのどちらかが 0 ≦ s ≦ 1 の範囲にあればいいのです。 k-√(kk+2) < 0 < k+√(kk+2) は常に成り立つので、結局、 k+√(kk+2) ≦ 1 を満たす k を求めればよいことになります。 √(kk+2) ≦ 1-k と移項して、両辺を2乗するときに、 1-k ≧ 0 という条件がつきますから、 kk+2 ≦ (1-k)2乗 かつ 1-k ≧ 0 を解いて、答えは k ≦ -1/2.

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  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

kk+2≧0 は、任意の実数 k が満たします。 考慮すべきは、判別式ではなく、 二次方程式の解が sin x の値域に 含まれるかどうかです。

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