数列です

質問

一般項を求めてください

(1)a1=1 a2=2 an+2+4an+1-5an=0

(2)a1=0 a2=1 an+2=an+1+6an

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1) a[1] = 1, a[2] = 2, a[n+2] + 4 a[n+1] - 5 a[n] = 0
(2) a[1] = 0, a[2] = 1, a[n+2] = a[n+1] + 6 a[n]
ですかね？

どちらの問題も、初期条件は無視して漸化式を満たす数列を
2 個見つければ、解くことができます。例えば、(1) について、
f(n+2) + 4 f(n+1) - 5 f(n) = 0,
g(n+2) + 4 g(n+1) - 5 g(n) = 0
を満たす 2 個の関数 f, g があったとすると、
任意の定数 A, B について a[n] = A f(n) + B g(n) が
a[n+2] + 4 a[n+1] - 5 a[n] = 0 を満たしますから、
a[1] = A f(1) + B g(1),
a[2] = A f(2) + B g(2)
という連立一次方程式を解いて A, B を決めれば、(1) が解けます。
このように、一般解がいくつかの特定の解の線形和(係数を掛けて足したもの)
で表される様な漸化式を「線形漸化式」といって、応用上重要です。
(1)(2) は、線形漸化式になっています。

では、具体的に (1)(2) について、どうやって f, g を見つけたら
いいのでしょう？　これは、知ってないと思いつかないかもしれませんが、
等比数列で解がみつからないかな？と試してみるとよいのです。
(1) の漸化式に a[n] = c^n を代入してみると、
(c^n)(c^2 + 4 c - 5) = 0 となって、c = 1, -5 のときに
任意の n で成り立つことが判ります。
そこで、f(n) = 1^n, g(n) = (-5)^n を使うことができます。
a[n] = A 1^n + B (-5)^n と置いて、
a[1] = 1 = A - 5 B,
a[2] = 2 = A + 25 B
を満たす A, B を求めれば、完了です。
(2) も、全く同様にできます。

回答No.1

ereserve67

(1)二通りに変形します．

a_{n+2}-a_{n+1}=5(a_{n+1}-a_n)
a_{n+2}-5a_{n+1}=a_{n+1}-5a_n

a_2-a_1=1
a_2-5a_1=-3

ですから

a_{n+1}-a_n=5^{n-1}
a_{n+1}-5a_n=-3

(上-下)/4から

a_n=(5^{n-1}+3)/4

(2)やはり二通りに変形します．

a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_n)
a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_n)

a_2+2a_1=1
a_2-3a_1=1

ですから

a_{n+1}+2a_n=3^{n-1}
a_{n+1}-3a_n=(-2)^{n-1}

(上-下)/5から

a_n=(3^{n-1}-(-2)^{n-1})/5

※二次方程式t^2-4t-5=0,t^2-t-6=0の二解を利用して変形しています．