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行列式の上手な解き方
| 1 1 1 1 | | 1 2 3 4 | | 1 4 9 16 | | 1 8 27 64| この行列式の解き方のコツを教えて下さい。宜しくお願いします。
- moderato1010
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- alice_44
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こんなん、結果を知ってなくても、 普通に計算したらよいです。 A No.1 は、ちょっと残念ですが。 行列式の値は、ある列に他の列のスカラー倍を 足したり引いたりしても変わりません。 問題の行列の第1列を、第2,3,4列から引くと、 1 0 0 0 1 1 2 3 1 3 8 15 1 7 26 63 これを第1行で余因子展開すると、値は 1 2 3 3 8 15 7 26 63 の行列式と同じになります。 「余因子展開」をよく知らなければ、 成書で勉強しておいてください。 重要事項ですが、ここで説明するには 話の分量が多すぎます。 さて、新しい第1列を使って、再度 第1列を掃き出しましょう。 第1列の2倍を第2列から、3倍を第3列から引くと、 1 0 0 3 2 6 7 12 42 となって、第1行で余因子展開すれば、 2 6 12 42 です。結局、 2×42ー6×12 が答えと判ります。そう大変でもないでしょう?
- ereserve67
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これは線形代数の教科書の行列式のところに必ず(?)載っている Vandermodeの行列式 です.第i列が1,x_i,x_i^2,・・・,x_i^{n-1}(nは次数)となっているものです. これの行列式は次のようになることが知られています. (☆)(-1)^{n(n-1)/2}⊿(x_1,x_2,・・・,x_n) ここで ⊿(x_1,x_2,・・・,x_n)=Π_{1≦i<j≦n}(x_i-x_j) は差積とよばれます. 今の場合n=4,x_i=i(i=1,2,3,4)ですから (-1)^{4(4-1)/2}(1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4) =(+1)(-1)(-2)(-3)(-1)(-2)(-1)=12 となります. (☆)の導き方の概要は次のようになります. ・行列式は列の交換で符号が変わるからx_1,x_2,・・・,x_nの交代式で割り切れ,交代式は差積で割り切れます. ・行列式の展開式で対角項の積1・x_2・x_3^2・..・x_n^{n-1}の係数はsgn(恒等置換)=1であり,差積の同様の項の係数は (-1)^{1+2+・・・+(n-1)}=(-1)^{n(n-1)/2}です. 詳しくは線形代数の教科書をみて下さい.
- Tacosan
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「コツ」もなにもない地道な方法なら計算できますか?
- sorakana
- ベストアンサー率26% (21/79)
解き方・・・解き方というのは一つにする方法でしょうか。 それならまず1行目(1列目)がすべて1なので省けます。 2 3 4 4 9 16 8 27 64 ここまで解けば分かるでしょうか。一応 次は 2(9*64-16*27)-3(4*64-16*8)+4(4*27-9*8)= で答えがでます。 公式名とか用語とかは忘れてしまいましたがこんな感じです。 補足 最初4行4列の時、1行目(1列目)が全て1でなかったのなら、操作して列か行を全部1にすれば省けます。
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