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解決済み

0の0乗について

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お礼率 77% (67/87)

Windowsの電卓を使う及びVisualBasicで0の0乗を求めると
1になってしまいますが、なぜですか?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です.

前にも書きましたように,
0の0乗は明確に定義されているわけではありませんから,
何をもって0の0乗とするのかという定義なしに
0の0乗の値を議論しても意味はありません.

2^0 = 1 にはどなたも疑念がないようですが,
もともとべき乗は自然数に対してのみ定義されたものですから,
何らかの拡張操作なしに0乗は意味がありません.
指数法則
(1)  2^m / 2^n = 2^(m-n)
はもともと m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味があったはずですが,
この法則がもっと広い m,n に対して成り立つように
(2)  2^0 = 1  (m=n に相当)
(3)  2^(-k) = 1/2^k (m<n に相当)
と拡張して定義したのです.
最初から0乗や負数乗が明確だったわけではありません.

同じように,
0の0乗もどういう拡張操作で定義するのかを明確にする必要があります.
一番素直そうな x^x (x→0)で定義したのが前の私の話です.
他の定義をもってくれば,他の値にすることも可能です.
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

2度目の回答ありがとうございます。
別に0の0乗の値について議論したいわけではないのですが、
ただ、簡単に説明できる方法がわからなかったのです。
guiterさんの回答で過去にあったという事で
皆様には大変無駄な時間を割かさせる事になってしまった事を
大変申し訳ないと思っているのですが、
私的には、1ヶ月くらい前から悩んでいた事がすっきりして
大変有意義な時間を過ごせたと思います。
(自分勝手な話ですが...。)
siegmundさんの回答にもやっと理解できるようになりました。
やっぱり勉強はしないと頭が腐っていきますね。

>もともと m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味があったはず
なるほど。
その辺だけ中途半端に覚えていた為、
わけがわからなくなっていたんでしょうね。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-05-22 14:06:56
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その他の回答 (全5件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 33% (10/30)

数学的にも0の0乗は1です。
なんの問題もありません。
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

早速ありがとうございます。
高校の時の授業でどの数値も0乗は1だと習ったのですが、
理解がしがたいのです。
なんで0の0乗まで1になってしまうのか数学的な理由が知りたいのです。
(できるだけ分かりやすく。)
投稿日時 - 2001-05-22 12:30:11


  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 29% (114/390)

 整数であろうが、実数であろうが、全ての数値は0乗すると必ず
1になります。これは数学上の原則です。
 定理ではないので証明はできません。
 「どんな数値でも0を掛ければ0になる」というのと同列のもの
とお考え下さい。

 質問に対する回答としては「数学上の原則でそうなっているから」
という感じでしょうか。
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

下らないネタに回答して下さってありがとうございます。
>「どんな数値でも0を掛ければ0になる」
これ自体は分かります。
例えば3×0=0っていうのは算数的にいうと
3が0個ある(0個なのにあるっていうのも...)から0なんですよね。
ただ、0の0乗っていうのはそういうようなイメージがわかないんですよね。
累乗自体、少年時代(小学生)っていうより
青少年時代(中学、高校生)の頃に習ったものだから、
先生もそういう表現をしてくれなかったのだと思うのですが、
こうだからこうなってこうなんだよというよなものでもいいんでけど。
しかし、証明はできないんですか。
なんかいい例えがあればいいんですけどね。
投稿日時 - 2001-05-22 12:36:46
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

Windowsの電卓やVisualBasicでそのように設定しているからでしょう.
これじゃ,多分納得しませんよね.

もともと0の0乗は定義があいまで,本来はきちんと定義する必要があります.
一番素直そうなのは
(1)  lim (x→0) x^x
という極限値をもって0の0乗とすることでしょう.
(2)  y = x^x
とおいて
(3)  log y = x log x
で,x→0 としたときの(3)の右辺の極限値は0になります
(ロピタルの定理など使えばよい).
したがって
(4)  log y → 0  (x→0)
となり
(5)  y → 1  (x→0)
です.
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

このような数式まで書いていただいてありがとうございます。
基本的に数学は全教科の中で一番好きで点数も結構取れていたのですが、
高校の時limだのlogをやった時に私生活や、部活動で忙しかったため、
テストではそれなりに取ったのですが、全然覚えてないんですよね。
もっと簡単に教えて欲しいのですが、そういうもんじゃないってことなんですか?
例えば3の4乗であれば、3を4回かけるから、
3×3×3×3=81と言う事で小学生(2年生以上)でも
教える事ができますよね?
そこまで簡単でなくてもいいのですが、
図っぽいのがあれば分かりやすいのですが...。
投稿日時 - 2001-05-22 12:27:59
  • 回答No.4

3の2乗 = 9
3の1乗 = 3
3の0乗 = ?
3のー1乗 = 1/3
3のー2乗 = 1/9

ですね。となると
下から上にいくとどんどん ×3していくことになります
上から下にいくとどんどん ÷3していくことになります

(1/3)×3 = 1
(3)÷3 = 1

よって 3の0乗は0です。 (^^)
0の0乗=1の証明はわかりません。。
が数学的に問題ないのは確かです。
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

そうなんですよ。
susumuさんが書いてくれた図が、まずは頭に出てきたんですよ。

3の2乗 = 9
 ↓÷3  ↑×3
3の1乗 = 3
 ↓÷3  ↑×3
3の0乗 = ? (1になるんですよね。)
 ↓÷3  ↑×3
3の-1乗 = 1/3
 ↓÷3  ↑×3
3の-2乗 = 1/9

って事ですよね。
それを3を0に置き換えると、

0の2乗 = 0
 ↓÷0  ↑×0
0の1乗 = 0
 ↓÷0  ↑×0
0の0乗 = ?
 ↓÷0  ↑×0
0の-1乗 = 0
 ↓÷0  ↑×0
0の-2乗 = 0

上記の図で答えだけ考えると0の部分にはなんとなく1というよりは
0が入りそうですよね?
っていうよりもそれ以前の問題で0で割っているではないですか。
そっちの方が大問題ですよね。
0では割れないんだから。
実はこの問題を考えつく前になんで0で割れないのか
ずぅ~と考えていたのですが、
無限になってしまうからだと考えついたのです。(ほんとかな?)
そうすると0乗の値っていうのは1乗の値を1乗の値で割って求めると
習ったという記憶が出てきたので矛盾が生じてしまったんですよね。

最初の質問でそこまで書けばよかったのですが、
なんかよくありそうな問題だったので、わかってくれるかなと
甘えてしまいました。

結局、答えとしてはどうなんでしょう?
定理(証明)はあるのですか?ないのですか?
投稿日時 - 2001-05-22 12:46:07
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

過去に同じような質問があったので参考にしてみて下さい。
お礼コメント
y_an

お礼率 77% (67/87)

ありがとうございます&もうしわけありません。
一応検索はしてみたのですが見つからなかったので、
質問させていただいたのです。
過去の同様の質問の回答の中に答えがありました。
2乗=1×n×n
1乗=1×n
0乗=1
これが一番分かりやすいですね。
これなら0の0乗が1っていうのも簡単に説明できます。
高校の頃にも教えてもらった気がします。
ありがとうございました。
(それにしても昔の記憶がなくなってく今日この頃です。)
投稿日時 - 2001-05-22 13:45:44
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