ランダムに分けても偏りがでる確率の求め方

質問

５０の玉があり、そのうち、赤玉は１５、白玉は３５である。それをランダムに二分する（２５と２５に分ける）。すると、片方に赤玉が７つか８つくると考えてしまうが、やってみると一つのグループに赤玉が１０以上、集まった。これはどれくらいの確率に生じたことなのだろうか。

という問題なのですが、どうやって解けばいいのでしょうか。教えて下さい。よろしく御願いします。

回答No.1

genshisyounen · ベストアンサー

50個の玉の中から25個の玉を取り出す組み合わせの数は、50C25。

取り出した25個の玉のうち、赤球が10個以上となるのは次の６通り。
(1)赤球が15個、白球が10個（組み合わせの数は、15C15*35C10）
(2)赤球が14個、白球が11個（組み合わせの数は、15C14*35C11）
(3)赤球が13個、白球が12個（組み合わせの数は、15C13*35C12）
(4)赤球が12個、白球が13個（組み合わせの数は、15C12*35C13）
(5)赤球が11個、白球が14個（組み合わせの数は、15C11*35C14）
(6)赤球が10個、白球が15個（組み合わせの数は、15C10*35C15）

(1)から(6)までの合計を50C25で割った値が、求める確率。
(15C15*35C10+15C14*35C11+15C13*35C12+15C12*35C13+15C11*35C14+15C10*35C15)/(50C25)=0.10826...

分母の桁数が非常に大きくなるので、計算はエクセルで行いました。
組み合わせの数の計算には、COMBINという関数を使いました。
ちなみに赤球が８個以上となる確率がちょうど0.5になります。

赤球が15個以上となる確率 1.45225E-06
赤球が14個以上となる確率 5.09607E-05
赤球が13個以上となる確率 0.000744078
赤球が12個以上となる確率 0.006057981
赤球が11個以上となる確率 0.031109238
赤球が10個以上となる確率 0.10826711
赤球が9個以上となる確率 0.269012675
赤球が8個以上となる確率 0.5
赤球が7個以上となる確率 0.730987325
赤球が6個以上となる確率 0.89173289
赤球が5個以上となる確率 0.968890762
赤球が4個以上となる確率 0.993942019
赤球が3個以上となる確率 0.999255922
赤球が2個以上となる確率 0.999949039
赤球が1個以上となる確率 0.999998548
赤球が0個以上となる確率 1

お礼

ありがとうございました。実は昨日、仕事で実際に問題になったことを、こんなかたちでお聞きしました。「赤玉が１０個以上になる確率は、数学的にいうと、かなり高いですよ」と、偉そうに言うつもりでしたが、１０％しかないというので、びっくりです。

組み合わせの問題は、仕事で（まったく数学とは関係のない仕事なのですが）、けっこう使えます。ただ、誰もそれが数学の問題になりうるなんて現場では考えていません。私も数学は学校で習ったのですが、すっかり忘れていました。

こういうサイトで、解答者様のような数学の知識が、数学を忘れた人たち（私も含めて）に広がることを祈っています。

ただ、悲しいことに、私も、お答えを読んでもまだわからないところがありますので、続けて質問させていただく余地を残すということで、しばらくこの問題を閉じないでいます。すみません。

補足

いま、わかりました。ありがとうございました。