不定積分

質問

∫dt/(1+t^2)^2
の不定積分の方法を教えてください

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

t=tanθ(-π/2<θ<π/2)

とおくと

dt=dθ/cos^2θ

1/(1+t^2)=1/(1+tan^2θ)=cos^2θ

∫(dθ/cos^2θ)(cos^2θ)^2

=∫dθcos^2θ=(1/2)∫dθ(1+cos2θ)

=(1/2)(θ+sin2θ/2)

=(θ+sinθcosθ)/2

=(θ+tanθcos^2θ)/2

={Arctan(t)+t/(1+t^2)}/2

積分定数省略

回答No.3

ramayana

Ano.2の最後の式は計算間違いでした。

∫dt/(1+t^2)^2 = 0.5t/(t^2+1) + 0.5atan(x)

です。

回答No.2

ramayana

1/(1+t^2)^2 = 1/((t-i)^2(t+i)^2)

なので、部分分数分解して、

　　1/(1+t^2)^2 = -0.25i/(t-i) - 0.25/(t-i)^2 + 0.25i/(t+i) - 0.25/(t+i)^2

よって、

　　∫dt/(1+t^2)^2 = -0.25ilog(t-i) + 0.25/(t-i) + 0.25ilog(t+i) + 0.25/(t+i)

右辺第２項と第４項を通分して足す。また、第１項と第3項（第１項の複素共役）の和は、atanになる。よって、

　　∫dt/(1+t^2)^2 = 0.5t/(t^2+1) - 0.5atan(1/t)