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微分できない関数のべき級数展開

関数f(x)は奇関数であり、xが正の整数ならばf(x)=1とします。 この関数がべき級数展開可能かどうかの質問です。 f(x)=ax とおくと f(1)=1 から a=1 よって f(x)=x f(x)=ax+bx^3 とおくと f(1)=1, f(2)=1 から a=7/6, b=-1/6 よって f(x)=(7/6)x-(1/6)x^3 f(x)=ax+bx^3+cx^5 とおくと f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1 から a=37/30, b=-1/4, c= 1/60 よって f(x)=(37/30)x-(1/4)x^3+(1/60)x^5 この3つの結果からすると、このまま進めて行っても各係数は発散するとは限らないように思えます。 実際に各係数の極限値を求めるのは私の手に余るのですが、べき級数展開は可能ですか?

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

sinc x = (sin x)/x は x が 0 でない 2π の整数倍のとき 0. そして x = 0 のとき 1 とすれば 級数展開できる. つまり f(x) = 1 - sinc (2πx) は x が 0 のとき 0, その他の整数なら 1 であるような偶関数であり, その級数展開は x の偶数乗だけからなる. 従って奇関数であるように √f(x) を考えることができる.

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質問者からのお礼

(#4も含めて)なるほど。 sinc(x)=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+... なので f^2(x)=π^2/3!x^2-π^4/5!x^4+π^6/7!x^6-... の平方根を考えれば良いのですね。 ちなみに、質問で示した方法により7項目まで計算してまして、こうなりました。 f(x)=1.3174103672x-0.36881172812x^3+0.055412808546x^5-0.0041685956665x^7+0.00016010802399x^9-0.00000298120088064117x^11+0.0000000211979377162259x^13 今回の式は f(x)=π/√6x-π^3√6/240x^3+... =1.2825498302x-0.31645648621x^3+... ですから、両者は違うか同じかのどちらか(つまり不明)でしょう。 回答ありがとうございました。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#3 の f(x) は f(x) = 1 - sinc (πx) で十分だ. 2 がついていてもおかしなことにはならんけど意味もない.

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質問者からのお礼

3項までの式には以下の関係があることに気付きました。 f_1(x)=x f_2(x)=f_1(x)-(x+1)x(x-1)/3! f_3(x)=f_2(x)+2(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)/5! これを利用すれば、連立方程式を解くよりも簡単になります。 7項までの式は、分数で表すと次のようになります。(#3のお礼で書いた値には誤差がある) f_7(x)=237371/180180x-23899/64800x^3+14363/259200x^5-15127/3628800x^7+83/518400x^9-17/5702400x^11+1/47174400x^13 また、第一項の係数は、次のように書けます。 1+1/2/3+1/3/5+1/4/7+1/5/9+1/6/11+1/7/13 = Σ[n=1,7]1/n/(2n-1) よって、Tacosanさんの示した式とは異なることが判明しました。 また、少なくとも第一項の係数は発散しないし、他の項も発散しないものと思われます。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • funoe
  • ベストアンサー率46% (222/475)

高校生程度の知識しかありませんが、 >上の条件を満たしたまま無限回の微分ができる関数があるなら・・ って、 f(x)=sin((2x+1)π/2) とか、無数にあるのでは??

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質問者からのお礼

> f(x)=sin((2x+1)π/2) > とか、無数にあるのでは?? その式では奇関数にはなりません。 sin(x + π/2) = cos(x) ですので、示された式は偶関数となります。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

奇関数 f(x) において「x が正の整数のとき f(x) = 1」では関数を完全に指定できません. もちろん奇関数であるからには x が負の整数なら f(x) = -1 だし f(0) = 0 でなければなりませんが, その他の (つまり整数でない) 値に対してはどうなるか決まりません. 質問のタイトルに「微分できない関数の」とありますが, 上の条件を満たしたまま任意の実数 x で微分できるようにもできます.

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質問者からのお礼

> 奇関数 f(x) において「x が正の整数のとき f(x) = 1」では関数を完全に指定できません. > その他の (つまり整数でない) 値に対してはどうなるか決まりません. 未定義と考えてください。 私が求めたいのは、xが整数においてf(x)と一致するべき級数です。 今回の質問では、与関数をべき級数で表すことを「べき級数展開」と言っているので、整数でない値でどうなるかは必要では無いと思われます。 > 質問のタイトルに「微分できない関数の」とありますが, 上の条件を満たしたまま任意の実数 x で微分できるようにもできます. テイラー展開できない、つまり無限回の微分ができないという意味で使用しました。 整数の時以外は未定義なので、そのままでは微分できないという意味でもあります。 上の条件を満たしたまま無限回の微分ができる関数があるなら、それは即ちこの質問の答になるでしょうね。 回答ありがとうございました。

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