相対速度×時間＝2つの物体の距離？

質問

ある同じ点から、空中にある物体が離れて落下したとき、その相対速度と落下した時の時間(落下し始める瞬間を0とする)をかけると二つの距離になるらしいのですが何故ですか？
状況については俺の解釈が間違ってる場合があるかもしれないのでそのときは補足お願いします

回答No.1

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初期速度がそれぞれ違っていて、抵抗がない自由落下ならそうなりそうだね。
x1=v1t+(1/2)at^2
x2=v2t+(1/2)at^2
だから、距離差は
x2-x1=v2t-v1t=(v2-v1)t
ってことになるからね。　　

初期速度が同じで、空気抵抗がないとすると距離差は発生しないだろうし、空気抵抗などがあると考えると、空気抵抗は（一次的には）速度の二乗に比例するとかめんどくさいことになってくるから、めんどくさいからやらなくていいならやりたくないね。

(物体Aの速度をa(t)、物体Bの速度をb(t)とした場合、物体の距離差は∫(a(t)-b(t))dt　（の絶対値）になるけど、a(t),b(t)も積分になるからめんどくさい。)

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.2

Quarks

物体の一方(仮に物体Ａとします。こちらにあなたが乗っているとしましょう)から、相手の物体(こちらはＢとします)を眺めてみます。相対速度は、一方の物体から見た、相手の速度です。Ａから見たＢの速度がそれに当たります。これを仮に速度Ｕとしてみましょう。
最初、空間の或る一点から離れ始め、Ｂは速度ＵでＡから離れて行きます。
もし、Ｕが一定値(大きさはもちろん、向きも一定という条件です)なら、Ａから見たＢの運動は、等速直線運動になります。等速直線運動の場合、
　変位＝速度・時間
ですから、Ａから見たＢの距離(＝Ａから見たＢの変位)は
　Ｕ・経過時間
で求められるはずです。この式は、
　相対速度×時間＝2つの物体の距離
であることを物語っています。要は、相対速度が一定値になっているかどうかに掛かっているのですね。

以下で、このことを詳細に検証してみます。観察するのは、以下では地上に静止している観察者です。
離れ始めた時のＡ，Ｂの、初速度をＶ，Ｗとします。大きさも向きも様々でありえますから、それぞれを鉛直方向成分(添字zを付します)と、水平方向成分(添字x,yを付します)とに分けてみます。
　Ｖ＝(Ｖx，Ｖy，Ｖz)
　Ｗ＝(Ｗx，Ｗy，Ｗz)　　
２物体は地球からの重力(ｚ軸方向に働きます)だけを受けて運動するので、鉛直方向には加速度運動を、水平方向には(力を受けませんから)等速直線運動をするはずです。
離れ始めてから時間ｔ後の速度成分は、重力加速度を向きも含めてｇと表記すると
　Ｖx'＝Ｖx
　Ｗx'＝Ｗx
　Ｖy'＝Ｖy
　Ｗy'＝Ｗy
　Ｖz'＝Ｖz＋ｇｔ
　Ｗz'＝Ｗz＋ｇｔ
ｔ後の、Ａから見たＢの相対速度Ｕ'の成分は
　Ｕz'＝Ｗz'－Ｖz'＝(Ｗz＋ｇｔ)－(Ｖz＋ｇｔ)
　＝Ｗz－Ｖz
　Ｕx'＝Ｗx'－Ｖx'
　＝Ｗx－Ｖx
　Ｕy'＝Ｗy'－Ｖy'
　＝Ｗy－Ｖy
となります。これは、出発時の相対速度Ｕ
　Ｕ=(Ｗx－Ｖx，Ｗy－Ｖy，Ｗz－Ｖz)
と全く同じものです。ｔは任意ですから、任意の時刻で、相対速度は一定であることが示されました。

こうして、２物体が"重力だけを受けて運動する"という条件が成り立つのなら、相対速度は、重力の影響を受けないで、大きさ向き共に一定値になることがわかりました。

空気の抵抗とか浮力などの重力以外の力や、片方が地面など他の物体と衝突するなどということが無視できるのならば
　相対速度×時間＝2つの物体の距離
が成立するのです。

お礼

分かりました
ありがとうございました