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もうひとつ。
答えが合わなくて困っているのですが、 「質量mの質店が滑らかな放物線 x・x=2ay (xは水平右を、yは鉛直下向を正) で与えられる細い滑らかな管の中に束縛されていて、最高点からV0の速さで 運動をはじめる。任意の位置(X,Y)での束縛力を求めよ」 という問題で、任意の点の法線を求めると、y軸との切片は(a+y)になり、 法線方向の運動方程式を立てるため、曲率半径ρをρの二乗を、 ρ・ρ=x・x+a・a として、 m・(V・V/ρ)=(m・g・a)/ρ+R と立てました。(※a/ρ=sinθ、R=束縛力) あとは力学的保存則を用い、Rを求めたのですが、答えが合いません。 私の考え方にミスがあると思います。 誰か混乱した私にアドバイスをお願いします。 因みに正解は、 {mg(a・a)(a-V0・V0/g)}/(a・a+2ay)[3/2] ※[3/2] は、’3/2乗’の意
- darah
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- siegmund
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siegmund です. y'(x) = dy(x)/dx で,この y'(x) の x のところに x+dx を代入したのが y'(x+dx) です. x 座標が x の時の接線の傾きが y'(x), x 座標が x+dx なら接線の傾きは y'(x+dx) です.
- siegmund
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曲率半径ρが違っていますね. aのb乗を a^b と書くことにして (1) ρ^2 = (a^2 + x^2)^3 / a^4 です. 曲率半径の公式は (2) ρ = {1 + (y')^2 }^(3/2) / |y''| です.y' = dy/dx, y'' = d^2 y /dx^2. 半径ρの円上の近接した2点P,P'で接線を引き,それらがx軸の正の方向となす角を θ,θ+Δθとしますと,Δθが弧PP'に対する中心角になります. すなわち (3) ρ = (弧PP'の長さ) / Δθ これの一般化が曲率半径です. (4) (弧PP'の長さ) ⇒ √{(dx)^2 + (dy)^2} = dx √{1 + (y')^2} (5) tan θ = y'(x) (6) tan (θ+Δθ) = y'(x+dx) で,(5)(6)から (7) Δθ = arctan{y'(x+dx)} - arctan{y'(x)} = y'' / {1 + (y')^2} dx です. (3)(4)(7)を整理して(2)になります. 絶対値がついているのは,下に凸と上に凸の場合を調整したものです.
補足
回答ありがとうございます。 ところで(4)までは理解しました。 (5)の y'(x+dx) が何を表しているのかがちょっと分かりませんでした。 お手数ですが、できればそこの補足をお願いいたします。
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お礼
分かりました。ありがとうございました。