2次関数を教えていただけないでしょうか

質問

以下の問題を教えていただけないでしょうか。
２０年以上前の学習内容で、恥ずかしながら、係数が文字になると、ぱっと解法がイメージ出来ません。
ご指南いただきたく、宜しくお願いします。

２次関数f(x)=aｘ²+ｂｘ+a(a²+3）は、x=1-aのとき最大値cを持つ。このときｃの最大値を求めなさい。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

多分、問題は「・・・・ｃの最小値を求めなさい。」でしょう？
２次関数f(x)が最大値をもつということはa＜0、すなわち
f(x)のグラフは上に凸(∩のような形)の放物線です。
与式を変形すると
f(x)=ax^2+bx+a(a^2+3)
=a(x^2+bx/a)+a(a^2+3)
=a(x+b/2a)^2+a(a^2+3)-a(b/2a)^2
=a(x+b/2a)^2+a^3+3a-b^2/4a
となり、a＜0だからx+b/2a=0のとき、すなわちx=-b/2aの
ときにf(x)は最大になり、最大値はa^3+3a-b^2/4aになります。
いまf(x)はx=1-aのとき最大値cを持つのですから、
-b/2a=1-a、b=2a(a-1)、これをa^3+3a-b^2/4aに代入して計算
するとc=a^3+3a-b^2/4a=a^3+3a-{2a(a-1)}^2/4a
=a^3+3a-a(a-1)^2=a^3+3a-a(a^2-2a+1)=2a^2+2a
これをg(a)とおくとg(a)=2(a^2+a)=2(a+1/2)^2-2*1/4
=2(a+1/2)^2-1/2
よってg(a)は(-1/2,-1/2)を極小点とし、点(0,0)及び点(-1,0)
を通る下に凸(∪のような形)の放物線です。
いまa＜0ですから、g(a)すなわちcの最大値は∞、最小値は
-1/2です。

お礼

早々の回答、ありがとうございます。

回答していただいていた、９行目途中まで頭は回っていましたが、夜中ずっと数学を解いていたせいか、そのあと、とんと途中で自分が何してるのか頭が回らなくなっていました。

昼間の今、いただいた解法を読んで、「あ、そういうことをしたいんだった。」とスッキリ納得しました。
・・・というか、a<0まで考えてて、なんでそのあと「？？？」と思考停止したんだか、お恥ずかしい。

どうもありがとうございました。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

中学生レベルの内容ですな。質問者が本当に20年前というのが本当なのか、
タダのカンニングなのかが判断できません。とりあえず試行錯誤してみましょう。

第一、どこが分からないのか、それすら分からないようでは回答のしようがない。

一つだけヒント。二次関数の最大値が定義域によらないモノであれば、
もっこり型の放物線になる。即ち、aは負の数ですな。あとは代入して計算すればいいだけ。
これでも分からなければ、タダのサボリですな。

お礼

回答をいただいて有難うございました。

昼間の今、自分が何をしようとしていたのか理解できました。
今朝は、何故、解法途中で思考停止になっていたのか、お恥ずかしい。

一応、中学生ではなく、どこから見ても中年ですので、カンニングとかではないです。