φの勾配についておしえてください

質問

φ = 2x - x^2y
∇φ = (∂φ/∂x , ∂φ/∂y)

となっているとき、

∂φ/∂x = 2 - 2xy , ∂φ/∂y = -x^2

となると記載された参考書がありますが、なぜこうなるのかが記載されておらず
理屈がどうしてもわかりません。
どなたかわかりやすく解説していただけませんでしょうか。

回答No.4

alice_44

∂f(x,y)/∂x だと、y を固定して x で偏微分することが
それとなく伝わってくる書き方になっているが…
物理っぽい記法の ∂φ/∂x だと、x で偏微分するにしても、
固定するものが何だか式だけからは読み取れない。
例えば、x+y=z の関係があるとき、y を固定した ∂/∂x と
z を固定した ∂/∂x とは異なる。
もしかすると、y 固定を言外に伝えるために
∇φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y) が登場しているんだろうか？
偏微係数の話をするだけなら、∇φ はいらないものね。

y を固定して x で偏微分する話なら、単に
y を定数とみなして x で微分すればよい。
(d/dx)(ax^2+bx+c) のとき、a,b,c を定数と見るのと一緒。

回答No.3

ereserve67

偏微分の計算ができないのでしょう．

簡単に言うとf(x,y)をxで偏微分した結果を

∂f(x,y)/∂x

と書きますが，これは

f(x,y)のyをxに関しては定数と思って普通の微分をしないさい

ということです．そのルールに従えば

∂φ/∂x=∂(2x-x^2y)/∂x=∂(2x)/∂x-∂(x^2y)/∂x

=2∂x/∂x-y∂(x^2)/∂x

ここで

∂x/∂x=1,∂(x^2)/∂x=2x

は普通の微分の公式dx/dx=1,d(x^2)/dx=2xと本質的に違いはありません．よって

∂φ/∂x=2・1-y(2x)=2-2xy

∂φ/∂yもφをｙ以外の変数を定数とみて普通にｙで偏微分したものです．やってみて下さい．

回答No.2

misumiss

＞ なぜこうなるのかが記載されておらず
＞ 理屈がどうしてもわかりません。
この部分は, 具体的にどういう意味でしょうか.
勾配をこのように定義する合理性が理解できないのか, あるいは, 参考書に記載された偏導関数の計算が間違っていると思うのか, それとも, それら以外のことなのか.
もう少し詳しく説明してください.

回答No.1

Tacosan

偏微分してください.