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a^u=d^2/dt^2 を四元加速度として、
a^uと三次元加速度dv/dtの関係

a^i= を示せ。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 58% (416/707)

まず,固有時間τと座標時間tの関係

dτ=dt√(1-|v|^2/c^2)

を確認します.vは3次元速度

v=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

です.

四元ベクトル

x^μ=(ct,x,y,z)

に対し,四元速度は

u^μ=dx^μ/dτ={1/√(1-|v|^2/c^2)}(dx^μ/dt)

={1/√(1-|v|^2/c^2)}(c,v_x,v_y,v_z)

そして四元加速度は

a^μ=du^μ/dτ={1/√(1-|v|^2/c^2)}(du^μ/dt)

ここでi=x,y,zとして

a^i=du^i/dτ={1/√(1-|v|^2/c^2)}d[{1/√(1-|v|^2/c^2)}v_i]/dt

={1/√(1-|v|^2/c^2)}[(-1/2)(1-|v|^2/c^2)^{-3/2}(-2v・dv/dt)v_i/c^2+(1-|v|^2/c^2)^{-1/2}dv_i/dt]

=(1-|v|^2/c^2)^{-2}(v・dv/dt)v_i/c^2+(1-|v|^2/c^2)^{-1}dv_i/dt

a^i=(1-|v|^2/c^2)^{-2}(v・dv/dt)v_i/c^2+(1-|v|^2/c^2)^{-1}dv_i/dt

a=(a_x,a_y,a_z)

とかくと,3次元ベクトル形式で

a=(1-|v|^2/c^2)^{-2}(v・dv/dt)v/c^2+(1-|v|^2/c^2)^{-1}dv/dt
感謝経済

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 74% (673/907)

まず,質問は正確に。

a^μ = d^2(x^μ)/dτ^2 でしょうか? 変数はt,それともτ?

また,4元速度の次元は速度次元かそれとも無次元?

おそらく,

dx^i/dτ = γdx^i/dt = γv^i
ただし,γ=1/√(1-β^2),β=v/c
d^2x^i/dτ^2 = γd(γv^i)/dt

という計算をせよというのが題意かと思われますが。
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