数学の得意な方にお聞きたいんですが、、、、

質問

一桁の数（1）から一桁の数（2）を引き、その答え（3）を（2）から引き、その答え（4）を（3）から引く。この作業を繰り返す際に、引かれる数より引く数が大きい場合は引かれる数に　10　を足してから引きます。
　例　7-5-2-3-9-4-5-9-6-3-3-0-3-7-6-1-5-6-9-7-2-5-…

　この作業を延々と繰り返すと、（1）（2）にどんな数を入れても、（5）の数×３の１の位が（20）になることと、（902）では必ず（1）と同じ数になることがなぜなのか解りません。

　気になってしょうがないので、解る方いらっしゃたら教えて下さい。

回答No.2

alice_44

問題の数列を a[ ] とし、
b[n] = a[n] (-1)^n と置けば、
b[n] ≡ b[n-1] + b[n-2] (mod 10) となります。

この漸化式、どこかで見たことありませんか？
有名な「フィボナッチ数列」というやつです。↓
http://www.gakuto.co.jp/w/suugaku/su_daizai03-2.htm
b[ ] では、初項が一般化されてますけど。

オリジナルのフィボナッチ数列
f[1] = f[2] = 1,
f[n] = f[n-1] + f[n-2]
との関係は、
b[n] ≡ b[1] f[n-2] + b[2] f[n-1] (mod 10)
となっています。
この関係は、b[ ] の最初のほう数項を書き出してみれば
容易に推測できるし、帰納法で示すのも簡単ですね。

以上より、
a[n] ≡ { - a[1] f[n-2] + a[2] f[n-1] }(-1)^n (mod 10)
です。

f[ ] の値は、パソコンなどで計算できるし、↓
http://linuxbeginner1.blog55.fc2.com/blog-entry-417.html
http://ameblo.jp/espelion/entry-10689066172.html
http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/F_Algor.htm
数表なども、よく見かけます。↓
http://www.suguru.jp/Fibonacci/Fib100.html
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html#100

a[5] ≡ a[1] f[3] - a[2] f[4] (mod 10),
a[20] ≡ - a[1] f[18] + a[2] f[19] (mod 10),
f[3] = 2,
f[4] = 3,
f[18] = 2584,
f[19] = 4181
であることより、
a[5] ≡ 2 a[1] + 7 a[2] (mod 10),
a[20] ≡ 6 a[1] + a[2] (mod 10)
が判ります。

これより、
3 a[5] ≡ 6 a[1] + 21 a[2]
. ≡ 6 a[1] + 1 a[2] ≡ a[20] (mod 10)
です。

また、フィボナッチ数の数表を見ていると、
f[61] と f[62] の一の位の数字が 1 であることに気づきます。
f[61] ≡ f[62] ≡ 1 (mod 10).
この様な f[ ] の対が f[100] までに在ることは直ぐ判りますが、
実際にどこにあるかは、数表を見てゆくしかないでしょう。

これを使って、
a[902] ≡ - a[1] f[900] + a[2] f[901]
. ≡ - a[1] f[60×14＋60] + a[2] f[60×15＋1]
. ≡ - a[1] f[60] + a[2] f[1]
. ≡ - a[1] f[60] + a[2] f[1]
. ≡ - 0 a[1] + 1 a[2]
. ≡ a[2] (mod 10)
が言えます。

回答No.1

ramayana

n番目の数字をa[n]とすると、示された作業は、

　　a[n] ≡ a[n-1] - a[n-2] mod 10

で表すことができます。
　このような漸化式は、行列で表すと見通しがよくなります。a[n] とa[n-1]を縦に並べた列ベクトルをA[n]とします。さらに、１行目が -1, 1 で、２行目が 1, 0 の２行２列行列をPとします。すると、漸化式は、

　　A[n] ≡ PA[n-1] mod 10

となります。よって、

　　A[n] ≡ P^(n-2)A[2] mod 10

です。

（イ）　「（5）の数×３の１の位が（20）になること」

上の式を使って a[5] と a[20] を計算すると、

　　a[5] ≡ 7a[2] + 2a[1] mod 10
　　a[20] ≡ a[2] + 6a[1] mod 10

となるので、

　　3a[5] ≡ 21a[2] + 6a[1] ≡ a[2] + 6a[1] ≡ a[20]

です。

（ロ）　「（902）では必ず（1）と同じ数になること」

　「（902）では必ず（2）と同じ数になる」の間違いではないでしょうか。
計算してみれば、

　　P^(60) ≡ 単位行列 mod 60

であることが分かります。よって、

　　A[902] ≡ P^(900)A[2] ≡ P^(60×15)A[2] ≡ A[2] mod 10

なので、

　　a[902] ≡ a[2] mod 10

です。