物理の問題

質問

次の物理の問題がわからなかったので、回答、解説をお願いします。

１つの平面の中で運動する単位質量の質点に作用する力の成分が、 質点の座標を（ｘ，ｙ）として次のように与えられている。
Ｆｘ＝kxy，Ｆｙ＝1/2*kx^2，Ｆｚ＝０ （ｋは定数）
この力は保存力か否か。保存力ならば原点を基準点として、ポテンシャルを求めよ。

教科書を調べてもわからなかったので、どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

∇×Fのx,y,z成分はそれぞれ

x成分：∂F_z/∂y-∂F_y/∂z=0

ｙ成分：∂F_x/∂z-∂F_z/∂x=0

z成分：∂F_ｙ/∂x-∂F_x/∂y=kx-kx=0

であるから

∇×F=0

よってFは保存力である．

ポテンシャルをUとすると，

∇U=-F=(-kxy,-(1/2)kx^2,0)

ｘ成分より

∂U/∂x=-kxy∴U=-(1/2)kx^2y+f(y,z)

f(y,z)はy,zの任意関数．これをy,z成分の式

∂U/∂ｙ=-(1/2)kx^2
∂U/∂z=0

に代入すると，

-(1/2)kx^2+∂f/∂y=-(1/2)kx^2∴∂f/∂y=0
∂f/∂z=0

つまり，y,zの関数f(y,z)はy,zによらない関数，つまり定数Cである．

U(x,y,z)=-(1/2)kx^2y+C

原点を基準に取るとU(0,0,0)=C=0であるから，

U(x,y,z)=-(1/2)kx^2y（答）

お礼

ありがとうございました。
わかりやすく解決していただきとても参考になりました。
さっそくためしてみます。

回答No.1

rnakamra

力F↑(x,y)が保存力であるとは任意の2点A,Bをとり、A,Bを結ぶ任意の二つの経路上でF↑の行う仕事Wが経路によらず一定であることを意味します。

W=∫_C F↑・dr↑

ここでA,Bを結ぶ二つの経路C1,C2を考えます。
∫_C1 F↑・dr↑ = ∫_C2 F↑・dr↑

AからC1を通りBにいき、BからC2を通りAに戻る経路での積分を考えると
∫_C1 F↑・dr↑ + ∫_C2(逆向き) F↑・dr↑=∫_C1 F↑・dr↑ - ∫_C2 F↑・dr↑ =0
となります。
この経路は閉じているためストークスの定理によりC1,C2を境界として持つ任意の領域Sにおいて
∫_C1 F↑・dr↑ + ∫_C2(逆向き) F↑・dr↑=∫∫_S rotF↑・dS↑
の関係が成り立ちます。

任意の2点A,Bを境界に含む任意の領域Sにおいて
∫∫_S rotF↑・dS↑ = 0
が常に成り立つには rotF↑=0↑が成り立つ必要があります。

つまり、保存力であるか否かはその力場の回転が常に0↑であるかどうかを調べればよいのです。

別の考え方
F↑が保存力だとすると必ずスカラーポテンシャルV(x,y,z)が存在し
F↑=-gradV
が成り立ちます。
rotF↑=rot(-gradV)=0↑
となります。

ポテンシャルVを求めるには
V(x,y)=-∫[基準点→(x,y)] F↑・dr↑
を計算すればよい。これは経路によらないので計算しやすい経路を選べばよい。
(0,0)→(x,y)であるなら次の経路が計算しやすいでしょう。
1.(0,0)→(x,0)
2.(x,0)→(x,y)
この経路なら1.のときFx=0となり計算が簡単です。

お礼

回答ありがとうございます。
参考させて問題を解いていきます。