至急回答お願いします！数Iの図形問題です

質問

辺ABの長さ2、辺BCの長さ3、辺CAの長さxの三角形ABCの面積が最大となるときのxの値を求めよ。またcosCの値が最小となるxの値を求めよ。

この設問までに、
・三角形ABCの面積S＝3sinB
・cosC＝x＾2＋5／6x
が求められています。

至急回答よろしくお願いします！

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

Ｓ＝3sinBよりＳが最大になるのはＢ＝90°のとき。

三平方の定理よりｘ＾2＝2＾2+3＾2
ｘ＞0よりｘ＝√13

cosＣ＝（ｘ＾2+5）/6ｘ
　　　＝1/6｛（ｘ＾2+5）/ｘ｝＝1/6（ｘ+5/ｘ）
ｘ＞0、5/ｘ＞0より相加相乗平均を使うと、
≧（1/6）*2√ｘ*（5/ｘ）＝√5/3

等号成立条件はｘ＝5/ｘだから、これを解くとｘ＞0よりｘ＝√5
よってｘ＝√5のときcosCは最小値√5/3となる。

お礼

ありがとうございました、大変感謝しております。

回答No.3

yyssaa

＞三角形ABCの面積=BC*(AからBCに下ろした垂線の長さ)*(1/2)
だから∠B=π/2のときに最大になる。
よってx=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13・・・答え

＞余弦定理により2^2=3^2+x^2-2*3xcosCから
cosC=(5+x^2)/6x=f(x)として
f'(x)={2x*6x-6(5+x^2)}/(36x^2)=(x^2-5)/(6x^2)
=(x-√5)(x+√5)/(6x^2)
f(x)の増減は (右上矢印)-√5(右下矢印)√5(右上矢印)
よってf(x)=cosCが最小となるときのxは√5・・・答え

お礼

ありがとうございました、迅速な対応に感謝です。

回答No.2

spinia0120

たぶんあってると思う。間違ってたらごめんね。

・cosCの値が最小となるxの値を求めよ。
明らかにx>0であるので、
cosC
=(x^2+5)/6x
=x/6+5/6x　　　　　相加相乗平均を用いて
≧2√(1/6)*(5/6)
=(√5)/3

xの値はx/6=5/6xより√5

・三角形ABCの面積が最大となるときのxの値を求めよ。
はcosからsinを導出するよりもへロンの公式使ったほうがいいかも。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
↑大学の入試問題でも使用できる高校数学の公式

へロンの公式よりs=(AB+BC+CA)/2=(2+3+x)/2=(5+x)/2とすると、
S=√{s*(s-AB)*(s-BC)*(s-CA)}
=√{(x+1)/2}*{(x-1)/2}*{(5+x)/2}*{(5-x)/2}
=(1/4)*√{(x^2-1)*(25-x^2)}
=(1/4)*√{-x^4+26x^2-25}
=(1/4)*√{-(x^2-13)+144}
なのでx^2=13すなわちx=√13でSは最大値√144=12となる

・三角形ABCの面積S＝3sinB
を使いたいなら、cosBからsinBを求めるけどこっちはめんどいと思うよ。
cosB=(2^2+3^2-x^2)/2*2*3=(13-x^2)/12から
sinB=√{1-(cosB)^2}でsinBをxで表して三角形の最大値を求めるの。

お礼

ありがとうございました、今回は一番最初に回答してくださったという事でベストアンサーにさせていただきます。