教えて下さい

質問

区間0≦x≦1において、関数f(x)＝x＾3－3a＾2x(a≧0)の最大値、最小値を求めよ。そして、0≦a≦1において最大値と最小値の差が最小となるaの値を求めよ。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

失礼しました。
f(x)＝x＾3－3a＾2x
f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a):a≠0のときx=±aで極値、
x＞a及びx＜-aで増加関数、-aで＜x＜a減少関数
f''(x)=6x:x=0は変曲点、x＞0で下に凸。
よって区間0≦x≦1において
(ア)a=0のとき最大値f(1)=1、最小値f(0)=0
(イ)0＜a≦1のとき最小値f(a)=-2a^3
最大値はf(0)=0とf(1)=1-3a^2の大きい方となるので
1-3a^2≧0すなわち1/√3≧a＞0で最大値は1-3a^2
1/√3＜a≦1で最大値は0
(ウ)1＜aのとき最大値f(0)=0、最小値f(1)=1-3a^2
(ア)よりa=0のとき最大値マイナス最小値は1-0=1
(イ)1/√3＞a＞0のとき最大値マイナス最小値は
1-3a^2+2a^3
1/√3＜a≦1のとき最大値マイナス最小値は2a^3＞2/(3√3)
1/√3≧a＞0のときg(a)=1-3a^2+2a^3とおくと
g'(a)=6a^2-6a=6a(a-1)
g''(a)=12a-6=6(2a-1)
g(a)のグラフはa=1/2が変曲点、a=0で極大、a=1で極小。
従って1/√3≧a＞0の範囲でg(a)が最小となるのは
a=1/√3のときで、g(a)=2/(3√3)
以上から0≦a≦1において最大値と最小値の差が最小
となるaの値は1/√3=(√3)/3・・・答え

回答No.1

yyssaa

0≦a≦1において最大値と最小値の差が最小となるaの値は
定まらないと思うけど、問題は正しいですか？