円弧の長さを求める方法

質問

はじめまして
x^2+y^2=4 の円よりx=-2～-1.95区間の円弧の長さって計算で求める方法ってありますか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

孤度法が何だか解っていれば、
関数電卓で (√4)(π - arccos(1.95/√4))/(2π)
を計算するだけだと思います。
arccos の厳密な値は判りませんから、
得られるのは近似値です。

arccos の近似値を自分で計算してみたい
ということでしたら、
マクローリン展開をしてみるとよいでしょう。
何項で打ち切るかは、所望の精度によります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「弧度法」勉強になります。

回答No.9

178-tall

最近情報から。

参考 URL の中に、sinc(x) = sin(x)/x 無限乗積関連の話題が…。
>三角関数

式は、
　∞
　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(*)
　k=1
というもの。

「弦長」ではなく、円中心から弦までの距離、つまり cos(x) を算出したあと半角算式を連用すれば、(*) の左辺を勘定できます。
∞ までは行けませんので、有効桁内で cos(x/2^k) が 1 に達したところで打ち切り。
そのときの左辺の sin(x) へ「弦長」を入れれば、x すなわち「弧長」が得られるわけです。

前出の「弦長の半角算式」の範疇に属する手みたいです。

参考URL：

http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa7747379.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
数学苦手の私にとっては新しい発見ばかりでした。
ありがとうございます。

回答No.8

178-tall

閉店前に滑り込み、「弦長」から始める勘定の手順を。

[注] 以下、単位円に規準化 (normalize) してハナシを進めます。

問題の条件から「弦長」を算出して L とする。(円周角は 2*arcsin(L/2) )
弦で切り取られている円弧の中心点と、もとの弦の両端点とを直線で結んで、新たな二弦を引く。
新たな二弦それぞれの長さ Ld を「ピタゴラス」勘定。

　Ld = √{{2 - √(4 - L^2) }

このまま使うと、「弦長」が短くなるにつれて「桁落ち」がひどくなる。

　Ld = L/√{2 + √(4 - L^2)}

なる変形式を使って、「桁落ち」を回避 (不動小数点の計算ツールにて) 。

この「弦長」の半角算式を繰り返していくと、有効桁内で「弦長」と「弧長」を区別できなくなる。
その結果を倍々していけば、復元されるのは角度に比例する「弧長」のほう、という算段でした。

お礼

またまたご回答頂きありがとうございます。

回答No.7

178-tall

>…区間の円弧の長さって計算で求める方法ってありますか？

更なる蛇足。

「円弧の長さ」を求める積分算式は、半径×角度を返してくるものが多く、振出しへ押し戻されますね。
結局、三角関数を経て勘定することになります。

前記した「一次近似が使えるまでφの 2 (あるいは 4) 等分を繰り返して求める手」は、区間の円弧長と弦長がじゅうぶん近似するまで 2 (あるいは 4) 等分を繰り返す手法で、やはり三角関数の倍角や 4 倍角の算式に相当する勘定をします。
小さな角の勘定中に桁落ちせぬよう、正弦算式を使うのが無難なようです。

計算ツールが気軽に使える状況では、あまり陽の目をみる機会がない技法ですけど。

お礼

色々ご回答頂きありがとうございます。

回答No.5

178-tall

蛇足。

スプレッドシートにて 4 分割法を試行してみると、2*2*φ≒0.896 でした。

参考まで。

お礼

度々のご回答に感謝致します。

回答No.4

178-tall

数値のコピーミスあり。訂正。

x = -1.950 にて y≒ 0.444 。
φ= arcsin(0.222) の一次近似法なら？
　φ≒0.222
求める円弧長は、2*2*φ= 0.888 。

お礼

ご回答ありがとうございます。
訂正ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

第 2 ～ 3 象限にわたる角度を横軸で二等分し、φとでもしましょう。
x = -1.950 にて y≒ 0.444 。
φ= arcsin(0.222) の一次近似法なら？
　φ≒0.230
求める円弧長は、2*2*φ= 0.920 。
これは、有効桁 = 3 ほど。

「一次近似では誤差を無視できない」という角度φなら、一次近似が使えるまでφの 2 (あるいは 4) 等分を繰り返して求める手あり。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご返事が遅くなり大変失礼致しました。
難しい用語が登場しましたが、勉強になります。

回答No.2

yyssaa

実用計算なら
cosθ=1.95/2=0.975又はsinθ=√(1-0.975^2)を計算して、
数表等でθを求めるとθ≒12.84°
求める円弧の長さ=2*3.14*2*2*12.84/360≒0.90になりました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほどです。勉強になりました。
連絡が遅くなりまして大変失礼致しました。

回答No.1

Tacosan

当該部分の角度を求めればいいだけ, では?

お礼

ご回答ありがとうございます。
連絡が遅くなり大変失礼いたしました。