パワースペクトルについて

質問

パワースペクトル（ある信号の強度の分布）は時間信号をフーリエ変換してその自乗で出てきますよね。
そのパワースペクトルが正規分布になることはあるのでしょうか？

もともと正規分布に近いものを自乗すると負の成分がなくなり，正の分布で正規分布の右半分のみのような分布になりますよね？
これも正規分布（ガウシアン）と判断していいのでしょうか？
この右半分の様な形のものを正規分布と判断する方法はありますか？
宜しくお願いします。

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．

>元の信号の実部，虚部
計算で挙げたf(t)は実信号なので虚部は0です．

だから実際は|f(t)|^2=f(t)^2が（規格化された）信号で，正規分布関数です．同じ意味でパワースペクトルも実信号です．だから，虚部は（この場合）考えずに，信号そのものの2乗が正規分布をしているかを調べるといいと思います．

数学的計算は厳密なので√正規分布はフーリエ変換しても√正規分布になることは理論的に確かです．その逆も言えます．

補足

なるほど，ということは複素信号の場合でも同じですよね，実部，虚部の大きさがパワースペクトルになるので。
数学的には正しいことが分かったのでよかったです。
ありがとうございました

回答No.1

ereserve67

正規分布のフーリエ変換はやはり正規分布です．したがって，パワースペクトルが正規分布になる元の信号は正規分布の信号，いわゆるGauss型信号のときです．

確認するには実際に計算してみるといいでしょう．ここでは信号f(t)（エネルギーを1に規格化）とそのフーリエ変換F(ω)を

f(t)=(1/2π)∫dωe^{iωt}F(t), F(ω)=(1/2π)∫dωe^{-iωt}f(t)

で定義します．F(ω)=2^{3/4}π^{1/4}√σe^{-ω^2σ^2}とするとPrancherelの定理より

{1/(2π)}∫|F(ω)|^2dω=∫|f(t)|^2dt=1

よってω軸上で{1/(2π)}|F(ω)|^2は正規分布になります．これを逆フーリエ変換すると

f(t)=(2π)^{-1/4}σ^{-1/2}e^{-t^2/(4σ^2)}

となり，時間軸上で|f(t)|^2は正規分布になります．

なお，角振動数ω軸上の正規分布の標準偏差wは1/(2σ)であるから

wσ=1/2

となります．これは最小不確定性関係として知られています．一般には

wσ≧1/2

となります．

フーリエ変換とフーリエ逆変換は数学的には同じ形をしているので，一方がGauss型で他方がGauss型になるならその逆も成り立ちますから，厳密な正規分布になるのはやはり正規分布に限られますね．

お礼

ありがとうございます。少し補足があります・・・

補足

素早い回答ありがとうございます。ということは，元の信号の実部，虚部のヒストグラムの歪度，尖度を計算しそれぞれが正規分布である場合，そのパワースペクトル（強度の分布）も正規分布とみなしてよいということですね？？