平均値の定理の問題

質問

平均値の定理を用いて x→0の時
lim[{cosx-cis^2(x^2)}/(x-x^2)]
を求めよ

という問題があるのですが、回答では

x→+0とx→-0の場合に分けているのですが、どうせ同じなのでなんでわざわざ極限分けなければならないのかよくわかりません。
場合分けをしなければならない理由を教えてください。

回答No.2

aries_1 · ベストアンサー

No.1です。
お礼ありがとうございますm(__)m

あれから考えたのですが、やはり「念には念を」というやつではないでしょうか。
連続関数であることが自明な場合、右側極限と左側極限を調べても回りくどいだけで×にはなりません。
一方、連続関数が自明でない場合、右側極限と左側極限を調べないと満点答案にはならず、最悪の場合×になります。
また、問題によっては、しばしば自明でない場合があります。
よって常日頃から右側極限と左側極限の両方を調べる癖をつけた方がいいとは思います。

お礼

あ、いえいえこちらこそありがとうございます。

一回目の回答では消化不良だった部分が解消しました。

回答No.1

aries_1

たまたま同じ値になったらいいのですが、左側極限と右側極限が違う値になることもあります。
その場合、その関数はx=0において連続でないので、微分が不可能になります。
平均値の定理は微分を使いますので、必ず関数が連続であることを示さなければなりません。
よって、右側極限と左側極限の両方を調べたのだと思います。
ただ、問題文に「平均値の定理を用いて」と書いてありますので、関数が連続なのは自明なこととしてしまってもいいような気もします。

お礼

私が言いたかったことを汲み取っていただき、ありがとうございます。

問題文に「平均値の定理を用いて」と書いてありますので、連続なのは明白。
よって左右の極限を分ける必要がないと思いました。