逆ミルズ比の微分について

質問

λ(d)＝φ(d)/(1-Φ(λ)) φ：確率密度関数　Φ：確率分布関数

をλで偏微分すると

∂λ(d)/d=-λ(d)(λ(d)+d)　を得ると書いてありますが計算方法がよくわかりません。

∂λ(d)/d=∂λ(d)/∂φ・∂φ/∂d+∂λ(d)/∂Φ・∂Φ/∂d

で計算すると思いますが偏微分の仕方がわかりません。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「逆ミルズ比」と仰るのなら、もしかしてφは標準正規分布の確率密度関数、Φはその分布関数（累積分布関数)ということでしょうかね。もしそうだとすると公式
　　　∂Φ(x)/∂x = φ(x)
　　　∂φ(x)/∂x = -xφ(x)
が成立つ。また、標準正規分布の逆ミルズ比
　　　m(α) = φ(α)/(1-Φ(α))
は、「標準正規分布に従う確率変数Xについて、Xがα未満の値である場合は無視、という条件下でのXの期待値」。

　（でもご質問の式はこれとはビミョーに違ってるから「逆ミルズ比の微分」そのもののご質問じゃないんだろう。）

> ∂λ(d)/d=-λ(d)(λ(d)+d)　を得る

　左辺の「∂λ(d)/d」って一体何のことだか意味不明であり、ハナシになりません。
　右辺についてはというと、もしφとΦが上記の意味であって、逆ミルズ比m(α)をλと書き、αをdと書くことにしたとすると、
　　　λ = φ(d)/(1-Φ(d))
ですが、これをdで微分すれば
　　 ∂λ/∂d = -λ(d)(λ(d)+d)
であることは、微分の公式と、上記の２本の公式から簡単に出ます。（ですが、これはご質問の式をλで偏微分したものではない。ご質問とは全然別の話。）

　ちうわけで、記号の意味をきちんと書き、また、式も正確に書いてもらわんとアキマヘン。

お礼

アドバイスありがとうございました。
∂λ(d)/dは、∂λ(d)/∂dの間違いです。

いろいろな、ご指摘ありがとうございました。
今後投稿の際には注意いたします。