四角錐台の高さを求めたいです

質問

画像のような四角錐台の高さを求めたいです。

ABとCDは1800
ADとBCは1300
EFGHは900の正方形です。
AE、BF、CG、DHは700だった場合、この図形の高さは求められるでしょうか。

面積などの公式は

http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1297153509

で見つけたのですが、高さを求める場合はどのようにすればよいでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.5

kagakusuki · ベストアンサー

今仮に、底面上でEの真下に点を設け、その点の名称を仮に、点Kとします。
　又、点Kから辺ABに向かって垂線を引き、その垂線と辺ABが交わる点を点I、同じく点Kから辺ADに向かって垂線を引き、その垂線と辺ADが交わる点を点Jとします。

AE=BF=CG=DH

なのですから、

JK=AI=(AB-EF)÷2・・・式(1)
IK=AJ=(AD-EH)÷2・・・式(2)

となります。
　△AIK（添付画像中の緑色の三角形）は∠AIKが直角な直角三角形なのですから、三平方の定理により、△AIKの各辺の長さの関係は次の様になります。

AK^2=AI^2+IK^2・・・式(3)

　△AEK（添付画像中の黄色の三角形）は∠AKEが直角な直角三角形なのですから、三平方の定理により、△AEKの各辺の長さの関係は次の様になります。

AE^2=AK^2+EK^2・・・式(4)

　この式(4)を変形しますと、

EK^2=AE^2-AK^2

となります。ここで式(3)を代入しますと、

EK^2=AE^2-AK^2=AE^2-(AI^2+IK^2)=AE^2-AI^2-IK^2

となりますから、更に式(1)と式(2)を代入しますと、

EK^2=AE^2-AI^2-IK^2=AE^2-AI^2-AJ^2=AE^2-{(AB-EF)÷2}^2-{(AD-EH)÷2}^2=AE^2-{(AB-EF)^2+(AD-EH)^2}÷4

　EKの長さは四角錐台の高さに等しいのですから、結局、四角錐台の高さは、

四角錐台の高さ=EK
=√〔AE^2-{(AB-EF)^2+(AD-EH)^2}÷4〕
=√〔700^2-{(1800-900)^2+(1300-900)^2}÷4〕
=√247500
=497.4937185533099773672399105・・・・・

という事で、約497.5mmとなります。

お礼

図解までしてくださり本当にありがとうございます。
また、式と解説ともによく理解できました。
ありがとうございました。
ところで、添付していただいた図はものすごくわかりやすいのですがどのようなソフトを利用されているのでしょうか。

回答No.6

kagakusuki

ANo.5です。

>添付していただいた図はものすごくわかりやすいのですがどのようなソフトを利用されているのでしょうか。

　添付画像はフリーソフトの「Jw_cad Version 7.11」で作図した図を、同じくフリーソフトの「Xn View for Windows 1.97.8」でキャプチャーしてJPEGファイルに変換したものです。
　但し、Jw_cadは只の2次元CADで、立体図を描くような機能は備わっておりません。
　添付画像の図は、御質問文にある四角錐台の寸法を基にして、私が図学の手法を用いて2次元の図面上に等角投影図法で描いたものです。（ソフトの機能によって自動で立体化したものでは御座いません）
　寸法線の補助線に関しましても、通常の直線で引き直したものですし、文字のフォントやサイズ、色等も調整し直しております。
　又、Xn Viewを用いてJPEGファイルに変換する際にも、若干、コントラストを強調しております。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
2d図面用のソフトなんですね。名前だけは耳にした事がありますが、その中でもわかりやすく工夫がなされており、機能以上の利用をされているようでとても参考になりました。

おかげさまで回答及び計算手法がわかりました。
本当にありがとうございました。

回答No.4

Knotopolog

（１）Ｅ点から底面（ＡＢＣＤ）上へ垂線を降ろす．この点をＫとする．

（２）Ａ点とＫ点の距離(ＡＫ)は，
(ＡＫ)＝√[(450^2)＋(200^2)]
(ＡＫ)＝√(202500＋40000) ＝ √(242500)＝492.442890

（３）四角錐台の高さをＴとすると，

Ｔ＝√[(700^2)－(492.442890^2)]
Ｔ＝√(490000－242500)＝√(490000－242500)＝√(242700)

Ｔ＝497.493718553

となります．

お礼

回答ありがとうございます。
式・回答も記載していただいて助かりました。
ルートですか。学生時代もっとまじめにやっとけばと今になって思います。。
ありがとうございました。

回答No.3

suko22

図を添付しました。

まず真上から見た図でＢＦ’を求めます。
つぎにもとの図に戻って、点Ｆから四角形ＡＢＣＤに垂線を下ろし、その交点をＦ’とします。（このとき真上からみたＦ’と同じ点である）

高さはＦＦ’となる。

△ＢＦＦ’で三平方の定理を利用してＦＦ’を求める。

こんな感じの流れです。

補足：
ワタクシ空間図形はそんなに得意でないので、この回答は参考程度に見てください。
もし間違ってたらすみません。
なにかの参考になるかと思い回答しました。

お礼

図解ありがとうございます。
やり方も記載してくださって助かります。
ありがとうございました。

回答No.2

maccha_neko

羊羹みたいなものだったとして、FGを通ってABCDに垂直に包丁で切ったとして、この断面の形状を考えてみれば、高さは求まると思いますよ。
線分ABはこの切断面に対しても垂直ですし、あとは三平方の定理でちょんちょん・・と。

お礼

ありがとうございます。
実は三平方の定理という言葉を初めて聞きました。。
ヒントありがとうございます。調べてやってみます。

回答No.1

naniwacchi

三平方の定理を繰り返し使えばよいかと、
一度「真上から見た図」を考えてみてください。

最後には、三角形AEP（点Pは、点Eの真下の点）に再度三平方の定理を用いることで、
600ちょっとぐらいと求まりました。

お礼

ありがとうございます。「真上」ですか。そんな考え方もあるとは思いつきませんでした。
やはり三平方の定理を使用するのですね。そこからになりますが調べてやってみます。ありがとうございました。