数学の微分の問題です。

質問

アインシュタインの添字ルールというものがあります。１つの項の中に添字が繰り返し出てきたら、和を取るというものです。
３次元空間を仮定して、そのルールに従う場合、
∂x_i/∂x_i
は、どうなるでしょうか。あくまでも形式的にルールに従うと、
∂x_1/∂x_1　+ ∂x_2/∂x_2 + ∂x_3/∂x_3 = 1+1+1=3
となりそうです。

しかし、一方で偏微分とは、例えばx_1で微分する場合にはx_2, x_3は一定ということが前提なので和のルールは適用しないということになり、１という感じもします。微分の上も下も同じだったら１というのは自然な感覚です。

アインシュタインのルールは、常に絶対に適用するものでなく、注釈的に”ここでは適用しない”と言うことができるようです。つまり、使用者の都合でする・しないを指定してもいいというものらしいです。

今回の問題は、その埒外、すなわち、都合というようなものでなく、原理的にどうなるかという問題のように思うのですが。いかがでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

「添字ルール」なんて呼んでしまうから、∂x_i/∂x_i という式を見たときに、
これがルールに従った式か否か…という問題意識になってしまうのではないでしょうか。
∂x_i/∂x_i がアインシュタイン記法で書かれた式か、それ以外の記法で書かれた式かは、
式にルールを適用するとかしないとかいう話ではなく、
式を読む/読ませる前提として明示されていなければならないことです。
前後の文脈で、必ず指定してなければいけない。
(ま、それが「本書では全部アインシュタイン記法」程度でも良い訳ですが。)

例えば、「単語 the を日本語で説明せよ」と言われたとき、それが
英語の話なのかフランス語の話なのか指定されていなければ、判りませんよね？
それと同じこと。

回答No.3

ereserve67

No.1です．違った風にもう一度．

∂x_i/∂x_k=δ_{ik}

ですね．右辺はクロネッカーのデルタです．詳しくは

∂x_i/∂x_k=δ_{ik}=1(i=k),0(i≠k)

です．ここでi=kのとき，∂x_i/∂x_i=1となります．このときは和は取らないのが普通です．しかし，

∂x_i/∂x_i=δ_{ii}=3

です．このときは和をとるのが普通です．前者ではiは1,2,3のいずれかとみなしているわけです．

回答No.2

spring135

・アインシュタインのルールは基本的に空間ベクトルに対する円残遺適用されるものであり、

∂x_1/∂x_1　+ ∂x_2/∂x_2 + ∂x_3/∂x_3 = divr=3

はごく見慣れた演算結果です。

＞しかし、一方で偏微分とは、例えばx_1で微分する場合にはx_2, x_3は一定ということが前提なので和のルールは適用しないということになり、１という感じもします。微分の上も下も同じだったら１というのは自然な感覚です。

意味不明です。1は間違いです。

＞アインシュタインのルールは、常に絶対に適用するものでなく、注釈的に”ここでは適用しない”と言うことができるようです。つまり、使用者の都合でする・しないを指定してもいいというものらしいです

話が逆です。適用する場合はおのずから指定されていて、その限りにおいて厳密に適用しなければ演算結果は間違いです。恣意性は全くありません。

お礼

ありがとうございます。

ある本によると、”ここでは添字の和をとらない”と明記しているものに出会ったことがあります。ただし、微分ではありませんでしたが。

ところで、∂x_1/∂x_1, ∂x_2/∂x_2, ∂x_3/∂x_3 を個別に著すときはどうするのでしょうか。
∂x_i/∂x_i, (i=1,2,3)書き出すしかないでしょうか。
あるいはA_1,1,3, A_2,2,3, A_3,3,3のようなものをA_i,i,3 (i=1,2,3)と書いて、和を取らないという事になるのでしょうか。

回答No.1

ereserve67

∂x_i/∂x_iにおいてiを特定の添え字とみるなら1です．そうでないなら約束通り

Σ_{i=1}^3∂x_i/∂x_i=3

です．どちらと見るかは，文脈から判断するしかないように思います．例えば「同じ添え字が現れたら和をとる記号を省略することにする」とことわっているなら3と見るのが普通です．1であるなら「iは1,2,3のいずれかとする」などといえば良いと思います．

つまり，それを記述する人の都合だと思います．

お礼

ありがとうございます。

本によっては、まえがき等にアインシュタインルールを使う、使わないを明記しているものがあり、ただし、それを変更して表示する場合（和をとらないとか）、それもその場その場で明記するらしいです。

そういうご意見ですね。

つまり、恣意性あり、というご意見と判断致します。