• 締切済み

数学の微分の問題です。

アインシュタインの添字ルールというものがあります。1つの項の中に添字が繰り返し出てきたら、和を取るというものです。 3次元空間を仮定して、そのルールに従う場合、 ∂x_i/∂x_i は、どうなるでしょうか。あくまでも形式的にルールに従うと、 ∂x_1/∂x_1 + ∂x_2/∂x_2 + ∂x_3/∂x_3 = 1+1+1=3 となりそうです。 しかし、一方で偏微分とは、例えばx_1で微分する場合にはx_2, x_3は一定ということが前提なので和のルールは適用しないということになり、1という感じもします。微分の上も下も同じだったら1というのは自然な感覚です。 アインシュタインのルールは、常に絶対に適用するものでなく、注釈的に”ここでは適用しない”と言うことができるようです。つまり、使用者の都合でする・しないを指定してもいいというものらしいです。 今回の問題は、その埒外、すなわち、都合というようなものでなく、原理的にどうなるかという問題のように思うのですが。いかがでしょうか。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

「添字ルール」なんて呼んでしまうから、∂x_i/∂x_i という式を見たときに、 これがルールに従った式か否か…という問題意識になってしまうのではないでしょうか。 ∂x_i/∂x_i がアインシュタイン記法で書かれた式か、それ以外の記法で書かれた式かは、 式にルールを適用するとかしないとかいう話ではなく、 式を読む/読ませる前提として明示されていなければならないことです。 前後の文脈で、必ず指定してなければいけない。 (ま、それが「本書では全部アインシュタイン記法」程度でも良い訳ですが。) 例えば、「単語 the を日本語で説明せよ」と言われたとき、それが 英語の話なのかフランス語の話なのか指定されていなければ、判りませんよね? それと同じこと。

回答No.3

No.1です.違った風にもう一度. ∂x_i/∂x_k=δ_{ik} ですね.右辺はクロネッカーのデルタです.詳しくは ∂x_i/∂x_k=δ_{ik}=1(i=k),0(i≠k) です.ここでi=kのとき,∂x_i/∂x_i=1となります.このときは和は取らないのが普通です.しかし, ∂x_i/∂x_i=δ_{ii}=3 です.このときは和をとるのが普通です.前者ではiは1,2,3のいずれかとみなしているわけです.

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.2

・アインシュタインのルールは基本的に空間ベクトルに対する円残遺適用されるものであり、 ∂x_1/∂x_1 + ∂x_2/∂x_2 + ∂x_3/∂x_3 = divr=3 はごく見慣れた演算結果です。 >しかし、一方で偏微分とは、例えばx_1で微分する場合にはx_2, x_3は一定ということが前提なので和のルールは適用しないということになり、1という感じもします。微分の上も下も同じだったら1というのは自然な感覚です。 意味不明です。1は間違いです。 >アインシュタインのルールは、常に絶対に適用するものでなく、注釈的に”ここでは適用しない”と言うことができるようです。つまり、使用者の都合でする・しないを指定してもいいというものらしいです 話が逆です。適用する場合はおのずから指定されていて、その限りにおいて厳密に適用しなければ演算結果は間違いです。恣意性は全くありません。

skmsk19410
質問者

お礼

ありがとうございます。 ある本によると、”ここでは添字の和をとらない”と明記しているものに出会ったことがあります。ただし、微分ではありませんでしたが。 ところで、∂x_1/∂x_1, ∂x_2/∂x_2, ∂x_3/∂x_3 を個別に著すときはどうするのでしょうか。 ∂x_i/∂x_i, (i=1,2,3)書き出すしかないでしょうか。 あるいはA_1,1,3, A_2,2,3, A_3,3,3のようなものをA_i,i,3 (i=1,2,3)と書いて、和を取らないという事になるのでしょうか。

回答No.1

∂x_i/∂x_iにおいてiを特定の添え字とみるなら1です.そうでないなら約束通り Σ_{i=1}^3∂x_i/∂x_i=3 です.どちらと見るかは,文脈から判断するしかないように思います.例えば「同じ添え字が現れたら和をとる記号を省略することにする」とことわっているなら3と見るのが普通です.1であるなら「iは1,2,3のいずれかとする」などといえば良いと思います. つまり,それを記述する人の都合だと思います.

skmsk19410
質問者

お礼

ありがとうございます。 本によっては、まえがき等にアインシュタインルールを使う、使わないを明記しているものがあり、ただし、それを変更して表示する場合(和をとらないとか)、それもその場その場で明記するらしいです。 そういうご意見ですね。 つまり、恣意性あり、というご意見と判断致します。

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