数学、帰納法の証明問題2

質問

下記の写真37のご回答お願いします
長くなると思いましたので二つにわけました
お手数をおかけしますが、何卒よろしくお願いいたします

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

３８（１）
n=1のときは与式の左辺=1^2=1、与式の右辺=(1+1)^3/3=8/3
なので与式が成り立つ。
1^2+2^2+3^2+・・・+n^2＜(n+1)^3/3が成り立つとき、n+1では
与式の左辺=1^2+2^2+3^2+・・・+n^2+(n+1)^2＜(n+1)^3/3+(n+1)^2
＜(n+1)^3/3+(n+1)^2+(n+1)+1/3={(n+1)^3+3(n+1)^2+3(n+1)+1}/3
={(n+1)+1}^3/3=与式の右辺のnをn+1とした式
よって、自然数nで証明された。
３８（２）
n=3のときは与式の左辺=3^3=27、与式の右辺=5*3+1=16なので
与式が成り立つ。
3^n＞5n+1が成り立つとき、n+1では与式の左辺=3^(n+1)=3*3^n
＞3(5n+1)=5n+10n+3≧5n+33＞5n+6=5(n+1)+1=与式の右辺のnを
n+1とした式
よって、自然数n(≧3)で証明された。
３８（３）
n=1のときは与式の左辺=(a+b)/2=与式の右辺なので与式が成り
立つ。
(a^n+b^n)/2≧{(a+b)/2}^nのとき、n+1では与式の左辺
={a^(n+1)+b^(n+1)}/2
これから{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}をマイナスすると
{a^(n+1)+b^(n+1)}/2-{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}
={2a^(n+1)+2b^(n+1)}/4-{a^(n+1)+ba^n+ab^n+b^(n+1)}/4
=(a-b)(a^n-b^n)/4≧0(これはa,bの大小に無関係)。従って
与式の左辺でnをn+1とした式={a^(n+1)+b^(n+1)}/2
≧{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}≧{(a+b)/2}^n*{(a+b)/2}
={(a+b)/2}^(n+1)=与式の右辺でnをn+1とした式
よって、自然数n、a＞0、b＞0で与式が成り立つことが証明された。
なお、等号はa=bのときである。

回答No.1

yyssaa

３７（１）
＞n=1のとき2n^3-3n^2+n=2*1^3-3*1^2+1=2-3+1=0
で6の倍数である。
2n^3-3n^2+nが6の倍数であるとき、nをn+1とすると
2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1)=2(n^3+3n^2+3n+1)-3(n^2+2n+1)+(n+1)
=2n^3+3n^2+n=(2n^3-3n^2+n)+6n^2
第1項、第2項とも6の倍数なので、その和も6の倍数である。
（２）
＞n=1のとき5^(n+1)+6^(2n-1)=5^(1+1)+6^(2-1)=5^2+6=31で
31の倍数である。
5^(n+1)+6^(2n-1)が31の倍数であるとき、nをn+1とすると
5^(n+1+1)+6^{2(n+1)-1}=5*5^(n+1)+6^2*6^(2n-1)
=5*5^(n+1)+(6^2+5-5)*6^(2n-1)
=5{5^(n+1)+6^(2n-1)}+(6^2-5)*6^(2n-1)
=5{5^(n+1)+6^(2n-1)}+31*6^(2n-1)
第1項、第2項とも31の倍数なので、その和も31の倍数である。

お礼

ありがとうございます
38もお願いできますか？