代数 この法則の名前と成り立つ理由を教えてください

質問

a、bが有理数のとき、kが無理数のとき
a＋bk＝0　ならば　a＝0、b＝0　となる。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

お書きの方程式に限った話ではなく、どんな有理数を何個でも、何度でも四則演算(足し算引き算掛け算割り算）で組み合わせてみても、そのコタエはいつも有理数である（0で割り算しようとさえしなければ）。
　　なぜなら、有理数+有理数は有理数。有理数-有理数は有理数。有理数×有理数も有理数。そして、有理数/有理数（ただし分母は0ではないとする）も有理数。これは有理数を分数で表した上で、分数同士の計算規則を調べてみれば、簡単に証明できますね。

　このことを、代数の用語では「有理数（=ここではすべての有理数から成る集合を指します）は四則演算について閉じている」と表現します。さらに、「四則演算について閉じている」という性質に加えて、(0以外による)割り算の答が必ずあること、演算の順序を適宜変えられることや、掛け算や割り算の分配規則が成立つこと、それらの性質をみんなひっくるめて、「有理数は体(たい)になっている」と言い、体としての有理数全体のことを指して「有理数体」と呼びます。

　ご質問の式を
　　k = -a/b
と変形したとして、ここでb=0の場合を考えると、これは0で割り算することになる。だから、この変形はb=0の場合には許されないことが分かります。なので、b=0のときに限って、kは必ずしも有理数である必要はない。a=0でありさえすれば、どんなkを持ってきても式は満たされるというわけです。

　ただし、無限回の四則演算を使うと、有理数から無理数を作り出すことができます。「有限回」というのが、ですから、重要なところなんです。

回答No.3

tmpname

まあ敢えて言うなら、「実数体を有理数体上のベクトル空間とみなす時、実数体の部分集合{1, k}はkが無理数の時一次独立である」という事ですが、別にこんな仰々しい言葉もいらないでしょう。

回答No.2

tmpname

法則も何もないです。
b≠0なら、k=-a/bなのだから、後はもう分かるでしょう。

回答No.1

iktmth

名前は知りません。

成り立つ理由だけわかったので投稿します。
ｂ＝0のときと、それ以外に分けて考えます。

bk＝有理数×無理数です。
ｂ＝0以外の場合、ｂｋ＝無理数になります。

ですから、ｂ＝0以外の場合
a＋bk＝有理数＋無理数になります。

有理数＋無理数＝無理数です。

ですから、ｂ＝０以外の場合、
「a＋bk＝0」は成り立ちません。

次にｂ＝０の場合を考えます。
すると、a＝0、b＝0になります。

ですから、

a、bが有理数のとき、kが無理数のとき、a＋bk＝0　ならば　a＝0、b＝0　となります。