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ζ(２)　の値

siegmundの回答

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回答No.1

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142 の回答で shushou さんが書かれているように (1)　　sin x / x = Π(n=1～∞) {1-x^2/(n^2 π＾2)} ですね． 右辺の無限乗積をばらして，x^2 の項を集めると (2)　　Π(n=1～∞) {1-x^2/(n^2 π＾2)} 　　　　= 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項) になります．右辺第２項の{　}内がちょうどζ(2)です． 左辺をｘで展開すれば (3)　　sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項) ですから，(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて (4)　　ζ(2) = π^2/6 が得られます． 他には，Fourier 級数を利用する方法もあります． (5)　　f(x) = x^2 を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば (6)　　x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1～∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx) になります． (6)で x=1 とおくと，右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって， 簡単に(4)が得られます． 同様に，x^4 の Fourier 級数展開から (7)　　ζ(4) = π^4/90 がわかります． なお，(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます．

shushou
質問者

お礼

なるほど分かりました。 フーリエ展開でもできるんですね。知らなかったです。 ありがとうございました。

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