大学の熱力学の問題を教えていただきたいです。

質問

熱力学の問題がわからなくて困ってます。

大学の熱力学の問題で教えていただきたいです。
ある気体1kg断熱膨張し、温度が400Kから100Kに、体積が0.2立方メートルから1.6立方メートルに変化した。
またこのとき外部に対して行った仕事は930kJであった。この気体の比熱kと気体定数R[ J/kg・K]を求める問題です。

圧力を変化前と変化後でP1とP2とおいて
断熱変化の公式で
P1×0.2^k=P2×1.6^k

状態方程式で
P1×0.2=1×R×400
P2×1.6=1×R×100

仕事
P2×1.6-P1×0.2＝930

とおいて連立で解こうとしたんですがよくわからなくなってしまいました。
解き方があっているかもわかりません。

解き方や考え方などを教えていただきたいです
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(確認)kは比熱ではなく比熱比(=Cp/Cv)のことですよね。
物理では通常γ、工学ではκ(カッパ)を使います。
それとこの気体は理想気体ということでよろしいのでしょうか。

> 圧力を変化前と変化後でP1とP2とおいて
> 断熱変化の公式で
> P1×0.2^k=P2×1.6^k

> 状態方程式で
> P1×0.2=1×R×400
> P2×1.6=1×R×100

以上は問題ないでしょう。

> 仕事
> P2×1.6-P1×0.2＝930
?
これはどのように出した式なのでしょうか。

上の三つの式だけで少なくともkの値は出せます。わからない文字が四つあるのでこれだけでP1,P2,R,kを全て出すことはできませんがkだけは確定できます。
状態方程式からP1,P2をRであらわし一番上の式に代入してみましょう。うまいことRが消えてkの方程式が得られます。指数方程式ですが両辺の適当な対数を取れば簡単に解けるでしょう。

Rの決定には仕事に関する式が必要です。
断熱過程における圧力PをVの関数で表します。
p*V^k:一定　ですが、初期状態のp=P1,V=0.2を使えば
p*V^k=P1*0.2^k → p=P1*0.2^k/V^k
となります。P1には上で求めたRを用いた式を入れておくとよいかもしれません。
気体がした仕事Wは
W=∫[0.2,1.6]pdV
から得られます。

お礼

回答ありがとうございます！

おっしゃる通りkではなくκでした。
仕事は高校の知識だけで気体がする仕事はPΔVであるから
変化の前後を引けば良いのかと思ってしまったせいです

式を解いてκは3/5と求まったのですが書いているようにRを求めてみたところ
2.06というような値になりました。
気体定数Rは約8.3だと思うのですが私の答えは合っているのでしょうか(>_<)

高校以来の久しぶりの物理なので知識が少なく
わからないことが多く式が変になってしまっているのかもしれません。

よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

> 式を解いてκは3/5と求まったのですが
κが1よりも小さくなることはありえません。が、たぶん5/3の間違いでしょう。それでOKです。
単原子分子の理想気体のようですね。

> 2.06というような値になりました。
> 気体定数Rは約8.3だと思うのですが私の答えは合っているのでしょうか(>_<)
Rの単位をよく見てみましょう。 J/(kg・K)　ですね。
高校の物理でよく出てくるのは R=8.3 J/(mol・K) です。　単位が違うんです。
1molあたりの係数と1kgあたりの係数が同じということはありません。桁も違います。
(たとえばHe分子の場合、1mol=4×10^-3)kg)
多分、仕事のkJの"k"を忘れているのではないでしょうか。答えを1000倍すればHeの気体定数と近い値になります。

お礼

打ち間違えでした。5/3でした。

１０００倍するのを忘れていました。
気体定数は8.3とは限らないのですね。
勉強になりました。
ありがとうございました。