統計学の質問です

質問

『高校数学でわかる　統計学』という本を読んでいるのですが、

標本集団の標準偏差S_Xについて、

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標本の大きさ（データ数）をnとするとき

　S_X = 1/n Σ{x_i - E(X)}^2 　（※Σは、i=1からnまで）

です。

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と書いてあるのですが、前のページを見ても、
（私の見落としがなければ）それらしきものは書いておらず、
どのような考えからこの式（定義？）が生まれるのかがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

omihsy · ベストアンサー

ここで書かれている S_X は、E(X)を標本集団の平均値としたとき

標本集団{ x_i （i=1...n）}が平均 E(X) からどれだけ離れているかという”ばらつきの度合い”

を表しています。
{x_i - E(X)}は各標本と平均値にどれだけ開きがあるかを表していますが、
これは正にも負にもなります。
なので、これらをΣでそのまま足してしまうと正負の値が相殺し合って、
本来平均からの差があったにも関わらず、結果として小さな値になり得ます。
これを防ぐために、あらかじめ{x_i - E(X)}を２乗して正の値にしておけば、
差分が大きい場合には足し上げたとき必ずS_Xは大きな値になります。
そしてこのS_Xが大きいほど標本のばらつきが大きいということを意味します。

ちなみに、ここで書かれているS_Xは「分散」と呼ばれるもので、
「標準偏差」はこの分散の平方根をとったものになります。
また分散のままだと測定単位が変わるため、
平方根をとることで測定単位を戻していることになります。
（分散だと、{x_i - E(X)}^2のように２乗しているので、
x_iの単位（メートルとかグラムとか）も２乗されていることになりますよね？）

お礼

ルートが抜けていたということですか。

式の意味も、恐らく理解できました。

ありがとうございます！

回答No.1

eclipse2maven

正規分布が　平均と標準偏差で決まるからです。

正規分布を見つけたことが、ガウスの大きな発見でしょう。ガウス分布とも言われますから。

お礼

ありがとうございます。