量子力学の数学的構造について

質問

現在夏休み中の大学3回生です。
関数解析でC*環とフォンノイマン環の基本的なことを修得し
たので、ついでに量子力学の理論を理解したいと思っている
のですが、今のところよくわからず、とりあえず次のように
暫定的に理解しているのですが、恐らく間違っています。
間違っている部分を訂正し、解説して下さるとありがたい
です。よろしくお願いします。

物理系に対し、可分ヒルベルト空間Hと、それに作用するフォン
ノイマン環Mが付随する。系の物理量TはMの可換子環M'の全て
の元と可換な自己共役作用素で表される。(非有界の場合も含む。
二重可換子環定理よりM''=Mなので有界作用素の場合はTはMに
含まれる。)

状態φとは、M上の正規非負線形汎関数でノルムが1のものであ
る。正規線形汎関数とは、あるH上のトレースクラス作用素ρが
存在し、φ(x)=Tr(Sx)となるようなものであり、正規線形汎関数
全体からなるバナッハ空間はMの前双対と呼ばれる。

物理量Tに対し、φ(T)=∫_[spec(T)] t dφ(E_T)(t)　
(E_TはTに付随するスペクトル測度であり、φ(E_T)はφとE_Tを
合成した確率測度)
がTを状態φで測定したときの観測値の期待値である。

CCRという交換関係を満たす物理量の組(q_j, p_j)_j∈Jが存在し、
それらが生成するフォンノイマン環(すなわちそれらのスペクトル
射影ないし、一係数ユニタリ群が生成するフォンノイマン環)
は、Mである。

回答No.1

eclipse2maven

物理の内容を数学的に正当化するのは、あまり生産的ではありません。

場の量子論とか、ファインマンの経路積分とか正当化できません。

お礼

実家にいるため、手元に量子力学を数学的に解説した本が作用素
環が出てこない新井朝雄の本くらいしかなく、作用素環を用いた
らどうなるのかがよくわからないのです。
数学を学ぶのに物理的な意味もセットで理解した方がいいと思う
のです。
作用素環、非可換幾何と数理物理の関連は現在も活発に研究され
ていると認識してます。
生産的な数学とはどんなものであるのか、是非教えてください。

補足

あなたが回答できることだけに回答して下さい。
知ったかぶりで上から目線はよしてください。