min記号の意味

質問

min{a.b}の意味がよくわかりません。
たとえば、min{|x|/2,|x-1|/2}は、どちらがちいさいのでしょうか。誠に申し訳ありませんが、どなたか具体的に教えていただけないでしょうか。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

>min{a.b}の意味がよくわかりません。

「a,b のうち小さい方」ということじゃないですかね。
min{|x|/2,|x-1|/2}は、xが未知数なので、xの値によって
|x|/2 の場合もあるし、|x-1|/2 の場合もあります。

#1さんが場合分けを説明してくれていますが、等号が抜けてますね。
つまり、x=0,1,1/2の場合の検証が必要ですね。

x=0のとき　|x|/2 = 0/2 =0, |x-1|/2=|0-1|/2 = 1/2
なので、min{|x|/2,|x-1|/2} = |x|/2

x=1のとき　|x|/2 = 1/2 , |x-1|/2=|1-1|/2 = 0
なので、min{|x|/2,|x-1|/2} = |x-1|/2

x=1/2のとき
|x|/2 = |1/2|*(1/2) =1/4
|x-1|/2=|1/2-1|/2 = |1/2|*(1/2) =1/4
なので、min{|x|/2,|x-1|/2} = |x|/2 = |x-1|/2

#1さんの回答とまとめると
x≧1/2 のとき　min{|x|/2,|x-1|/2}　=|x-1|/2
x＜1/2 のとき　min{|x|/2,|x-1|/2}　=|x|/2
となりますね。
（一応x≧1/2としましたが、等号はどっちにつけてもOKです。）

【別のやり方】
2乗して比べます。
つまり、
(|x|/2)^2 -(|x-1|/2)^2 を計算します。2乗すると絶対値を外すことができます。
(|x|/2)^2 -(|x-1|/2)^2
=|x|^2/4 - |x-1|^2/4
={x^2-(x-1)^2}/4
=(x^2-x^2+2x-1)/4 = (2x-1)/4

よって 2x-1≧0 すなわち、x≧1/2 のとき
(|x|/2)^2 -(|x-1|/2)^2　≧0
となり、|x|/2 ≧ |x-1|/2

また、2x-1＜0 すなわち、x＜1/2 のとき
(|x|/2)^2 -(|x-1|/2)^2　＜0
となり、|x|/2 ＜ |x-1|/2

と分かります。

お礼

どうも、ありがとうございました。

回答No.3

Rossana

min{a.b}はaとbのうち小さいものを意味します．
例えば，min{7,2}=2です．
逆に，
max{3,8}=8
となるmaxというのもあります．

回答No.1

noname#6715

>min{a.b}の意味がよくわかりません。
>(中略)
>どちらがちいさいのでしょうか。
わかっているじゃん（＝△＝）
「aかbかどちらか小さい方」だ

|x/2|と|x-1|/2の大小関係に関しては
(これが知りたいのが本題のように見えるんだが)
場合わけが必要

x>1のとき
x/2-(x-1)/2=1/2
よって|x/2|>|x-1|/2

0<x<1のとき
x/2-{-(x-1)}/2=x-1/2
よって 1/2<x<1のとき |x/2|>|x-1|/2
0<x<1/2のとき |x/2|<|x-1|/2

x<0のとき
-x/2-{-(x-1)}/2=-1/2
よって|x/2|<|x-1|/2

以上から
x<1/2のとき|x/2|<|x-1|/2
x>1/2のとき|x/2|>|x-1|/2

なんか計算間違えた気がする

お礼

どうも、ありがとうございました。