ガウス関数の面積について

質問

ガウス関数の面積を表わす公式はあるのでしょうか？
ガウス関数だけでなく、ローレンツ関数との複合関数の面積の公式はあるのでしょうか？あれば、教えていただきたいのですが。

もしなければ、半値幅は面積と比例関係にあるのでしょうか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

x=-∞から x=∞ までの面積なら
(1)　　S = ∫[x=-∞ ～ x=∞] exp(-a^2 x^2) dx = (√π)/a
です．
半値幅は 1/a に比例しますから，結局Ｓとも比例関係にあります．

ローレンツ関数との複合関数は具体的な形を書かれていませんが
(2)　　f(x) = b exp(-a^2 x^2) / (x^2 + b^2)
というつもりでしたら
(3)　　∫[x=-∞ ～ x=∞] f(x) dx = 2(√π) exp(a^2 b^2) Erfc(ab)
であることが知られています．
ただし，Erfc(x) はいわゆる Gauss の誤差関数
(4)　　Erfc(x) = ∫[t=x ～ t=∞] exp(-t^2) dt
です．
変数変換すればわかりますように，Erfc(-∞)が本質的に(1)の積分ですね．

お礼

ご丁寧にありがとうございました。

今はガウス関数の波形分離をしておりまして、半値幅と面積の関係を知りたかったのです。これから頑張って波形分離をしたいと思っております。
ありがとうございました。