高一 二次関数

質問

数学Iの二次関数の『二次不等式』で、分からない箇所があるので、ぜひ教えてください！

例えば、

次の２次不等式を解け。

x^2-7x+12＞0

では、因数分解して答えは「3＜x＜4」になります。

しかし、

次の二次不等式を解け。

X^2+6x+9＞0

では、(x+3)^2≧0になり、答えは「-3以外のすべての実数」になります。

この違いがよく分かりません。
D＞0やD=0の違いで、「二次不等式を解け」という同じ問題でも変わるということなのでしょうか？

また、D＞0、D=0、D＜0などをこれらを素早く区別する方法というものはあるのでしょうか。

当たり前のことかもしれませんが、はっきりと理解したいので、よろしくお願いします

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ここは質問者さんの言うようにはっきり理解しておくべき分野です。

公式やパターン分類などしてそれらを覚えても１年後には忘れているでしょう。
またそれらの作業は疲れるだけで、得られるものはなにもありません。
いつでも使える知識にするためには、なぜそのような解になるのか考察して
おく必要があります。一般論ではややこしいだけなので、具体的な２次不等式で
考察するとよいでしょう。

私の考え方（覚え方？）を紹介します。

２次不等式を２次関数のグラフと関係付けます（図を描いたほうがわかりやすいですが、
回答の形式上省略します）。

x^2-7x+12＞0なら、左辺をy=とおきます。
y=x^2-7x+12とおく。
ここでy=0の解がx軸との交点の座標に対応していることをまず理解しましょう。
するとx^2-7x+12=0 (x-3)(x-4)=0より、x=3,4
y=x^2-7x+12はx軸で3,4の２点で交わることがわかります。
x^2の係数が正なので下に凸のグラフになりますね。
するとx軸上の２点(3,0)(4,0)をとって放物線のグラフが簡単にかけます。
（この２点をx軸上にとるとき、白抜きの○を使いましょう＠理由はあとで説明します。）

ここでx^2-7x+12＞0に戻ります。
今左辺をy=x^2-7x+12と置きましたね。
ですので、y>0となります。
すなわち、２次不等式の解はy=x^2-7x+12においてy>0の範囲にあるということを示しています。
よって、上記で書いたグラフのy>0の部分（すなわちx軸より上の全部）に斜線を引きます。
その斜線部分のy=x^2-7x+12のグラフがy>0、すなわちx^2-7x+12>0を満たす範囲です。

まとめると、
x^2-7x+12>0の左辺をy=とおく。
yとxの関係は、y=x^2-7x+12
そしてx^2-7s+12>0⇔y>0
グラフはyとxの関係を表しているから、y>0に対応するxの範囲がグラフより簡単に
読みとることが出来、それがxの２次不等式の解になります。
すわなち、図よりx<3,4<x

上記で(3,0)と(4,0)を白抜きの○でとった理由はy>0なのでy=0、すなわちx軸上の点は含まない
という意味で白抜き○にしました。これは見やすくするためだけの便宜上のことですが、
図は見た目も大事ですからこのように私はします。
（私は、白抜きの○はその点は含まない、黒丸●はその点を含むで区別しています）

どうですか？
伝わりましたか？
図を書くとわかりやすいのですが、言葉だけではなかなか上手く表現できなくてすみません。

次いきますね。
x^2+6x+9>0
y=x^2+6x+9とおきます。
y=0より(x+3)^2=0,x=-3
グラフを書くとx軸(-3,0)で接する、下に凸のグラフであることがわかるので、
簡単な放物線を書きます。ここで(-3,0)は白抜き○です。
y>0なのでx軸上の(-3,0)以外は全部この領域に入っていることがわかります。
ですので、yとxはそれぞれ対応していますからy>0を満たすxの範囲は、
「-3以外すべての実数」となり、これが２次不等式x^2+6x+9>0の解に対応しています。

例題をいくつか。
(1)x^2+3x+2≦0
y=x^2+3x+2
y=0よりx^2+3x+2=0,(x+1)(x+2)=0,x=-1,-2
(-1,0)(-2,0)を黒丸●で取り、放物線を書きます。
y≦0なので、図より-2≦x≦-1

(2)-x^2-2x-2<0
x^2の前がマイナスなので考えやすくするために両辺にマイナスをかけてx^2の前の符号を正にします。
x^2+2x+2>0
y=x^2+2x+2
y=0よりx^2+2x+2=0
因数分解できません。解の公式で解けるか確認します。
そのためには判別式を使うのでしたね。
D/4=1-2=-1<0
判別式というのは解の公式の√　の中身のことでしたので、判別式がマイナスになるということは
実数解をもたないことになります。
だからこの２次方程式の実数解はありません。
「y=0の解がない」ということは、「x軸との交点がない」ということを表しています。
よってグラフは、下に凸でx軸と接点を持たないグラフを書けばよいわけです。
このとき正確なグラフはいりません。y軸は書く必要はありません。頂点もどこでもかまいません。
重要なのは下に凸でx軸と交点がないという事実だけです。
ですので、x軸より上に放物線が書けたと思います。
今y>0なのですべての放物線が範囲に入っています。yとxはy=x^2+2x+2によって関連づけられて
いるのでy>0,すなわちx^2+2x+2>0を満たすxは「すべての実数」となります。

(3)x^2+2x+2<0
(2)と不等号が逆ですね。
y<0の範囲にグラフはありません。
もう簡単ですね。答えは「解なし」です。

(4)x^2+2>0
y=x^2+2とおく。
y=0よりx^2+2=0
判別式D=-8<0より２次方程式の解なし⇔x軸との交点なし。
グラフは下に凸でx軸との交点はないから、x軸より上に放物線ができます。
よってy>0をグラフ上で示し、その結果２次不等式の解は
「すべての実数」であることがわかります。

これくらいの問題なら、判別式を使わなくてもできます。
グラフの頂点簡単にわかりませんか？
このグラフの頂点は(0,2)です。
すると下に凸なのでx軸との交点はないことはすぐにわかります。
あとの考え方は同じです。

このようにしてたくさん問題演習してください。
解法のパターンは決まっていることが問題を解いているとわかってきます。
先にパターンを確認するのではなく、このように問題を解きながらパターンを確認するのが
よいです。

乱文長文失礼しました。
よく考えてみてくださいね。
ここに書いたことは一見面倒に見えますが（わかりやすく説明しようと長くなってしまっただけです）、
慣れてくれば、すぐできるようになります。
要はすぐにパターンに気づけるということです。
無駄なことは覚える必要はありません（もちろん覚えるべきことは覚えます）。
２次不等式は教科書を読んでもなかなか理解できませんよね。
解法のまとめの表なんか載っていますが、まったく意味不明です。
あれ見て２次不等式解けっていわれてもできません。
数学が嫌いになります。
理解できるまで粘り強く考え抜いてください。

わからないことがあれば補足してください。

補足）２次不等式の問題で２次関数のグラフを書くときにはx軸との交点がどうなっているか
だけを知りたいだけなので、x軸だけ書いて、y軸は書く必要はありません。

補足

細かく説明ありがとうございます！

そして、補足なのですが、二番目の問題の解き方は間違っていたでしょうか？
x^2＋6x＋9＞0とあるのに、&gE;は多分違いますね…

回答No.2

suko22

＃1です。

＞そして、補足なのですが、二番目の問題の解き方は間違っていたでしょうか？
＞x^2＋6x＋9＞0とあるのに、&gE;は多分違いますね…

「&gE;は多分違いますね」・・・？？

x^2+6x+9>0
(x+3)^2>0となり、答えは「-3以外のすべての実数」です。
≧ではなく＞ですね。タイプミスですかね。もしそうなら質問者さんの解答であっています。

x^2+6x+9≧0なら
(x+3)^2≧0となり、答えは「すべての実数」になります。

またなにかありましたら補足してください。

お礼

不等号はそのままでよいのですね・・・！
だんだん理解してきました！

何度もすみませんでした。回答いただき解決いたしました！m(__)m
ありがとうございました。