解き方を教えてください。

質問

質量m のおもりを軽いばねに付けて鉛直に垂らした
ところ，ばねが自然長からL 伸びて釣り合った．この釣り
合いの位置から，おもりを手で引いてx 下げた．手が行っ
た仕事を求めなさい．

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

「物体に働いている力がした仕事の合計＝運動エネルギーの増分」
という関係を利用するのが良いでしょう。

物体を引き下げているとき、物体に作用している力は
(1)バネの弾性力Ｆ（フックの法則に従います）
釣り合いの位置から更にｘだけ伸びた状態では
　Ｆ＝ｋ・(Ｌ＋ｘ)
が成り立っています。
バネの伸びと弾性力は比例しますから、バネの伸びが(Ｌから更に)ｘ伸びる間の、弾性力の平均値は
　{ｋ・Ｌ＋ｋ(Ｌ+ｘ)}/2＝ＫＬ＋(1/2)ｋｘ
です。この弾性力がする仕事Ｗ1は
　Ｗ1＝(ｋ・Ｌ＋(1/2)・ｋ・ｘ)・ｘ・cos180°
　＝－ｋ・Ｌ・ｘ－(1/2)・ｋ・ｘ^2
弾性力は上向きに、物体の移動は下向きに、なので　仕事量には cos180°が掛かります。

(2)重力(＝質量・重力加速度)
この重力がした仕事Ｗ2は
　Ｗ2＝ｍｇ・ｘ
重力は下向きで、移動の方向と一致していますから、仕事＝力の大きさ・変位の大きさ　です。

(3)手が引く力がした仕事はＷとしておきます。

運動エネルギーはどのように変化したでしょうか？
引き始めは、まだ動いていませんから　Ｋ＝０
引き終わったときは、物体は静止状態になっているでしょうから　Ｋ'＝０

「物体に働いている力がした仕事の合計＝運動エネルギーの増分」でしたから

　Ｗ1＋Ｗ2＋Ｗ＝Ｋ'－Ｋ
∴－ｋ・Ｌ・ｘ－(1/2)・ｋ・ｘ^2＋ｍｇ・ｘ＋Ｗ＝０

ところで釣り合いの位置での状態から、
　ｋ・Ｌ＝ｍｇ
でしたので
　－ｍｇ・ｘ－(1/2)・ｋ・ｘ^2＋ｍｇ・ｘ＋Ｗ＝０
∴Ｗ＝…

お礼

詳しい解答ありがとうございます。

回答No.1

gg-funk

フックの法則よりバネ定数を求めて仕事を求める。
mg=f=kL
k=mg/L
U=kx^2/2に代入すると
U=(mgx^2)/2Lが得られる。