積分可能、不可能について

質問

fを[a, b]で定義された単調関数とするときfの不連続点は高々可算個です．
1点集合は零集合であり，零集合の可算和も零集合となるので，
fは[a,b]でリーマン可積分といえますよね。

それでは何故f(x)=1/xは[0,1]で定積分不可能なのでしょうか？
不連続な点はx=0の時だけなので、「fの不連続点は高々可算個」という
上の条件を満たしていると思います。

どなたか誤りの指摘、または解説をよろしくお願い致します。

回答No.14

uyama33

リーマン可積分

を、勝手に
広義リーマン積分

にしてしまってごめんなさい。

有界でないとだめだと言うことを確認しました。

ご質問にそっての回答は

ｘ＝０での値をどう決めても、単調関数にはなりません。
関数が有界でないので、単調関数には出来ない。
f(0)<f(x) となる０＜ｘがある

ということでしょうか。

回答No.13

uyama33

少し調べました。

解析概論では、
広義リーマン積分は、不連続点だ有限個のときにしか定義されていません。

回答No.12

tmpname

「ほとんど連続」というのは「ほとんど至る所で連続」に読み替えて下さい

回答No.11

tmpname

まあ、繰り返しになりますが、結局
「実数体Rの有界閉区間I上で定義された関数fが、I上有界でないなら、fはI上可積分で無い」のです。いい練習問題なので自力で証明してみるといいでしょう。
その上で、「fがI上有界でであるとき、fがI上Riemann可積分であることは、fがI上ほとんど連続であることと同値である」ことが成り立ちます。

また繰り返しになりますが、f(x)=1/xの時も、f(x) = (1/x)^(1/2)の時も、x=0の時はまあどう定義してもよいのですが、[0,1]で有界で無いので可積分で無いのです。fが[a,b]で単調増加だとしますと、f([a,b]) = [f(a), f(b)]でfは[a,b] 上有界、かつfは[a,b]上ほとんど連続なので、fは[a,b]上可積分になります。

お礼

何度もありがとうございました。
ちょっと自分でも考え直して勉強してしっかり理解したいと思います。

回答No.10

uyama33

すみません。間違えました、

(1/x)^(1/2) は[0,1] で有界ではないけれど、
定義にしたがって、[0,1]で積分すると
2
になります。

次のように訂正します。

(1/x)^(1/2) は(0,1] で有界ではないけれど、
定義にしたがって、(0,1]で広義リーマン積分すると
2
になります。

追加

(1/x) は(0,1] で有界ではないけれど、
定義にしたがって、(0,1]で広義リーマン積分しようとしても
無限大に発散します。

お礼

何度もありがとうございました。
参考に、自分でも考え直してみたいと思います。

回答No.9

tmpname

笑う前に少しは自分で調べよ。
容易に笑とか書かないこと。

補足

すみません、お気に触ったようですね。
回答通知が頻繁にくるので何事かと思って驚いた所存です。
お許しくださいね。

ちなみに、私はtmpnameさんのように考えておりました。
1/x^(1/2)は
∫(0～1)1/x^(1/2)dx=lim(c→0)∫(c～1)1/x^(1/2)dx
の右辺の極限値が存在するとき1/x^(1/2)は
「(0,1]広義可積分可能」ということなので、
「[0,1]で積分可能」とは違いますよね・・・。

回答No.8

tmpname

判定条件に関しては、
＊例えば猪狩「実解析入門」（岩波）にも、
fは有界区間上での「有界関数である」とする。fがRiemann積分可能である為の
必要充分条件は、fがほとんどすべての点で連続であることである
ときちんと書いてくれているし、さっきの杉浦の本にも、IV章定理9.5にきちんと
こう書いてある。

で、さっき「問題をみよ」と書きましたが、一般に実数体Rの有界閉区間I上で定義された
関数fがI上有界でないときは、fはI上(Riemann)可積分で無い。広義Riemann積分を考えたときは
また話が別です。

補足

お二人方の討論が進んでいるようですが・・・
結局結論は、どうなるのでしょう笑

回答No.7

tmpname

いや、その例を実は書こうとも思ったんですが、

> (1/x)^(1/2) は[0,1] で有界ではないけれど、
> 定義にしたがって、[0,1]で積分すると
> 2
> になります。

ならないでしょ。この関数は『[0,1]で可積分で無い』です。まさに
(0,1]での「広義」リーマン積分は可能だけど、[0,1]にした途端
可積分でなくなる典型例です。もう一度定義に従って検討しなおして
下さい。
ヒント：0を含む区間では、幅がいくら小さくなってもそれに応じて
いくらでも大きい代表点が取れるでしょう?(0,1]で広義リーマン積分を
考える時は、0は入っていない点が異なる。

これでもまだ疑うなら、きちんと杉浦「解析入門1」第IV章2節問題2とかに
例えば書いてあるからみてみると良いです。

回答No.6

uyama33

たとえば、

(1/x)^(1/2) は[0,1] で有界ではないけれど、

定義にしたがって、[0,1]で積分すると
2
になります。

ｆが有界か否かは、広義リーマン積分可能か否かの判定条件にはなりません。

回答No.5

uyama33

広義リーマン積分で積分可能か否かは、積分の定義どおりに判断したほうが良いと思いますが。

fを[a, b]で定義された単調関数とするときfの不連続点は高々可算個です．
1点集合は零集合であり，零集合の可算和も零集合となるので，
fは[a,b]でリーマン可積分といえますよね。

このような判定条件を使う上で考えるのは、
この条件にあっているときは、単調性と閉区間で定義されているので
不連続点での飛び幅が余り大きくならない最大でも |f(a)-f(b)|で抑えられるところにある
と考えます。

とび幅が抑えられないときは、
定義どおりに考えて、調べる必要があります。

したがって、判定条件がなぜ適用できないかは、

fが　[a, b]で定義された単調関数
ではない。

からです。