• ベストアンサー

x^sinx=e^logx^sinx の過程

学校の授業でx^sinx の微分を求める問題の解説を先生がしていたのですが、 最初に x^sinx=e^logx^sinx というふうに変形をしてから微分をしていたのですが、 どのように計算をすると、このようになるのでしょうか? それとも公式なのですか? よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • fukuda-h
  • ベストアンサー率47% (91/193)
回答No.1

対数の底をaとしてa^(log[a]b)=bという公式ではないですが公式みたいな変形式があります。 これですね。 証明はこの式の両辺で底をaとして対数をとれば当たり前に証明できます。数IIの指数対数を習ったときに、教科書には書いてないですが、参考書に出てきます。主に使うのは数IIIが多いですね。

その他の回答 (1)

  • bgm38489
  • ベストアンサー率29% (633/2168)
回答No.2

x=e^(logx)ということを利用しています。 これは、公式というか、x=1/(1/x)みたいなもので、じっくり考えれば何を意味しているか分かることです。 logxとは何か。底はeですので、eを何乗すればxになるかを表します。その数で、eを累乗してるわけですから、xになるのは当然のことなのです。

関連するQ&A

  • (sinx)^xの微分と(logx)^xの微分

    すいません間違えました。(sinx)^xの微分と(logx)^xの微分 です。

  • ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの解

    ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、nは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね?(計算が合ってる自信はあまりないです‥)また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27=(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか?そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか? もうひとつ質問があります。 n→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

  • e^2x+x-1=0、2x^2+x-2+2logx=0の解き方

    現在高校3年の者です。唐突な質問ですみませんが、e^2x+x-1=0とか2x^2+x-2+2logx=0といったような方程式はどうやって解けばよいのでしょうか。どなたか解説お願いします。。。。

  • lim xsin[ log(x+1) - logx

    lim xsin[ log(x+1) - logx ] (x→∞) の解き方を教えて下さい。それと、関数の極限で覚えておくべき公式を教えて下さい。 lim (sinx / x) = 1 というのは公式ですか? (x→∞)

  • f(x)=x・(logx)^2について

    f(x)=x・(logx)^2について f(x)の極値、変曲点を求めよ。 という問題があります。 一回微分して=0にする。二回微分して=0にするという理屈はわかるんですが、 どうしても、増減表が作れずグラフが描けません。 logx=-2となってしまい、わからなくなってしまいます。 よろしければ、教えていただけませんか

  • logy=x*logxの両辺をxで微分すると

    logy=x*logxの両辺をxで微分すると、 1/y*y'=(x)'*logx+x(logx)' 右辺がこうなるのは分かるんですが、なぜ左辺がこうなるのかがわかりません。 左辺=logyをxで微分するということなので d左辺/dxとなりますよね? xで微分するのでyは定数とみなして計算しますよね? たとえば、y=u^3+u^2+3 をxで微分したらdy/dx=0 となりますよね? なので、logy をxで微分したらyを定数とみなして計算しなければいけませんよね? なぜ、logy をxで微分したら、1/y*y' になるのでしょうか? 教えてください。 お願いします。

  • e^(2x)*sinx  *は積 のテーラー展開は?

    こんにちは。  f(x)=e^(2x)・sinX をテーラー展開して一般項を考えることをしています。  微分していきます。  f'(x)=2e^(2x)・sinX+e^(2x)cosX  f^(2)=4e^(2x)・sinX+2e^(2x)・cosX+2e^(2x)・cosX-e^(2x)・sinX となると思います。  さて、そもそもテーラー展開とはなんぞや?ということもありますが、この先どのように解を導けばいいのか、方法だけでも、あるいは 一般項だけでも教えてください。  よろしくお願いします。

  • e^xやsinxの微分について

    [e^(x+h)-e^x]/hや [sin(x+h)-sinx]/hを自力で計算したいのですが、ヒントを教えていただけますか。

  • ロピタルでも解けない?極限lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)

    極限 lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x) を求めたいのですが、0/0型となります。 ロピタルの定理を用いて、分母分子をそれぞれ微分しようとしても、逆にややこしい式になります。 どのようにすれば解けるでしょうか?

  • y=e^x^x 微分 問題

    y=e^x^x 微分 問題 y=e^x^xを微分せよ 両辺に自然対数をとる logy=loge^x^x=x^x(loge) logy=x^x 両辺に自然対数をとる log(logy)=logx^x=x(logx) 両辺を微分すると (1/logy)・(1/y)・y'=logx+1 y'=(logx+1)(logy)・y y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x 回答があっているかどうか教えて頂けませんか? また、間違っている場合は解き方を示して頂けないでしょうか? 以上、よろしくお願い致します。