ローラン展開がよくわかりません

質問

数学でローラン展開をやっているのですが、ローラン展開自体が何を表しているのかイマイチわかりません。
イメージだけでも教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

次の事実は、(4)を除き、概ねご存じだと思います。

　　(1)複素関数は、ベキ級数に基づいて定義される。

　　(2)正則な複素関数を、閉じた経路で複素積分すると、すべて０になる。

　　(3)閉じた経路内に特異点があると、複素積分に留数が出る（典型的例は、1/Z）。

　　(4)当初の複素関数論では、実の楕円積分などの値を得るために、関数を複素化し、留数によって値を出せないか？という事が、けっこう大きな動機になっていたようです。

　それで、(1)～(4)を眺めてみると、複素関数論で興味があるのは、じつは特異点を持つ関数だとわかります。ところが複素関数はベキ級数で定義されるので、テーラー展開では不足です。テーラー展開は、特異点のまわりで使用できないからです。そこで、特異点のまわりでも展開できるように、負ベキを用いてテーラー級数を拡張したのが、ローラン展開だというのが、自分の意見です。ローラン展開を用いれば。log(z)なども、z＝0を中心に展開できるようになります。

　ローラン展開の証明では、ローラン展開がｎ位の極を持つなら、関数全体にz^nをかけて正則化し、テーラー展開に持ち込んで証明する、・・・とやってたと思います。

　現在の複素関数論は留数だけではないでしょうが、理論の基本には、こんな流れがあるんだろうなと、想像しています。

回答No.3

noname#221368

#1です。

　log(z)はz＝0でローラン展開できません。安易に書いちゃいました。#2さんのような例が、適当です。

　失礼いたしました。

お礼

いえいえ、ありがとうございました。
だいぶイメージがつかめました。
頑張ってみます！

回答No.2

siegmund

例えば，sin(x) を x=0 の周りでテーラー展開することはできます．
つまり
(1)　　sin(x) = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - ・・・
しかし，1/sin(x) を x=0 の周りではテーラー展開できません．
sin(x) = 0 ですので，1/sin(x) は x=0 で特異点になっているからです．
でも，(1) を見ると，1/sin(x) の x=0 付近での振る舞いは
1/x と同じようなものだろうと想像できます．
こういう風に，特異点のある関数のその周りの様子を逆べき(1/x，1/x^2 ，など)も許して
テーラー展開風に近似しようというのがローラン展開です．

1-cos(x) だと
(2)　　 1-cos(x) = (1/2!)x^2 - (1/4!)x^4 + ・・・
ですから，x=0 での異常性(の最も主要な部分)は 2/x^2 だろうと想像できます．

いくらでも異常性の強い項が出てくることもあります．

ローラン展開は通常複素関数論で用いられますので，
変数は実変数 x ではなくて複素変数 z になっていることが普通です．
特に，ローラン展開の 1/z の係数は留数と呼ばれていて，
複素積分の留数定理と関連して非常に重要です．

なお，特異点の周りでいつでもロ－ラン展開できるわけではありません．
log(z) や √z などはローラン展開ができません．

お礼

ありがとうございます。
具体的でとてもわかりやすかったです。