確率の問題

質問

統計学のテストが近いので勉強をしています。しかし、授業で使っている教科書には演習問題の略解しか載っていないので、解き方がわかりません。もし、わかる方がいれば教えてください。

1. ふつうの硬貨2枚と、両面が表になっているインチキ硬貨1枚が入った箱がある。この箱から1枚の硬貨を無作為に選んでそれを2回投げるとき、（a)2回とも表が現れる確率を求めよ。（ｂ）選ばれた硬貨を3回投げて3回とも表が出たとして、それがインチキ硬貨であったという確率を求めよ。

2. 硬貨を１回投げる。表が出たらサイコロを１個転がし、出た目の数だけのドルを支払い、裏が出たらサイコロを２個転がし、出た目の合計の数だけドルを支払うものとする。そのとき、たかだか５ドルを支払えばすむことになる確率を求めよ。

3. 25セント銀貨14枚と5ドル金貨1枚の入った財布と、25セント銀貨15枚入った財布がある。第1の財布から5枚の硬貨をとり第2の財布へ移し、その後、第2の財布から5枚の硬貨をとり第1の財布へ移す。このような移し変えの後で、金貨が第1の財布に入っている確率はいくらか。

答えはそれぞれ
1.(a)1/2 , (b)2/3
2.5/9
3.3/4
となるみたいです。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

1. ふつうの硬貨2枚と、両面が表になっているインチキ硬貨1枚が入った箱がある。この箱から1枚の硬貨を無作為に選んでそれを2回投げるとき、
＞（a)2回とも表が現れる確率を求めよ。
ふつうの硬貨を選ぶ確率＝２／３、　１回投げて表が出る確率＝１／２
インチキ硬貨を選ぶ確率ー１／３，　１回投げて表が出る確率＝１
よって、２回とも表が出る確率は、
（２／３）×（１／２）^2＋（１／３）×１^2＝（１／６）＋（１／３）＝１／２
＞（ｂ）選ばれた硬貨を3回投げて3回とも表が出たとして、
＞それがインチキ硬貨であったという確率を求めよ。
３回とも表が出る確率は、（１）と同様に考えて、
（２／３）×（１／２）^3＋（１／３）×１^3＝（１／１２）＋（１／３）＝５／１２
インチキ硬貨が３回とも表が出る確率は１／３だから、
よって、求める確率は、（１／３）／（５／１２）＝（１／３）×（１２／５）＝４／５

2. 硬貨を１回投げる。表が出たらサイコロを１個転がし、出た目の数だけのドルを支払い、裏が出たらサイコロを２個転がし、出た目の合計の数だけドルを支払うものとする。そのとき、
＞たかだか５ドルを支払えばすむことになる確率を求めよ。
たかだか５ドルというのは、５ドルを越えない程度と言う意味だから、１～５ドルは支払うと言うこと。
硬貨が表が出る確率＝１／２，１～５の目が出る確率＝５／６だから、
（１／２）×（５／６）＝５／１２
硬貨が裏が出る確率＝１／２，
出た目の合計が２～５になるのは、（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）（１，３）
（２，２）（３，１）（１，２）（２，１）（１，１）の１０通りで、
その確率は、１０／３６＝５／１８だから、（１／２）×（５／１８）＝５／３６
よって、求める確率は、（５／１２）＋（５／３６）＝２０／３６＝５／９

3. 25セント銀貨14枚と5ドル金貨1枚の入った財布と、25セント銀貨15枚入った財布がある。第1の財布から5枚の硬貨をとり第2の財布へ移し、その後、第2の財布から5枚の硬貨をとり第1の財布へ移す。
＞このような移し変えの後で、金貨が第1の財布に入っている確率はいくらか。
第１の財布の硬貨１５枚から５枚選ぶのは、15Ｃ5通り、
第１の財布から５枚移ると、第２の財布の硬貨は２０枚になるから、５枚選ぶのは、20Ｃ5通り
（１）第１の財布から金貨を移した場合、
金貨１枚と銀貨１４枚から４枚選ぶから、１×14Ｃ4通り
このときの確率は、１×14Ｃ4／15Ｃ5＝１／３
第１の財布に金貨があるためには、
第２の財布から金貨１枚と銀貨１９枚から４枚選べばいいから、１×19Ｃ4通り
このときの確率は、１×19Ｃ4／20Ｃ5＝１／４
よって、（１／３）×（１／４）＝１／１２
（２）第１の財布から金貨を移さない場合（最初から金貨が入っている）
銀貨１４枚から５枚選ぶから、14Ｃ5通り
このときの確率は、14Ｃ5／15Ｃ5＝２／３
第２の財布は銀貨しか入ってないから、
銀貨２０枚から５枚選ぶから、その確率は20Ｃ5／20Ｃ5＝１
よって、（２／３）×１＝２／３
よって、求める確率は、（１）（２）より、
（１／１２）＋（２／３）＝９／１２＝３／４

でどうでしょうか？　１の（２）は答えが違うように思います。

お礼

1の（b)に関しては明日学校に行ったときに先生に確認してみようと思います。
とてもわかりやすい解説ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.4

MagicianKuma

1-(b)の答えは、No2さんが正しい。
事象Aを3回表がでる。事象Bをインチキ硬貨を選ぶ。事象Cをふつうの硬貨を選ぶ。とすれば、
事象BとCは排反事象であり網羅的（事象B、C以外はない）なので
P(B|A)=P(A|B)・P(B)/(P(A|B)・P(B)+P(A|C)・P(C))　で求めることができる。

お礼

ありがとうございます。問題集が間違っていたみたいですね。今度、学校に行ったとき先生に確認してみようと思います。

回答No.3

yyssaa

1(a)
＞無作為に選んだ1枚の硬貨がふつうの硬貨である確率=2/3
それを2回投げて2回とも表が現れる確率(1/2)^2=1/4
無作為に選んだ1枚の硬貨がインチキ硬貨である確率=1/3
それを2回投げて2回とも表が現れる確率=1
よって求める確率は(2/3)*(1/4)+(1/3)*(1)=1/2
(b)
＞普通の硬貨を3回投げて3回とも表が出る確率=(1/2)^3
インチキ硬貨を3回投げて3回とも表が出る確率=1
よって求める確率は1/(1+1/8)=8/9
2.
＞硬貨を１回投げて表が出る確率=1/2
この場合は支払うドルは1,2,3,4,5,6ドルのいずれかになり
その確率はいずれも1/6なので、5ドル以下になる確率は5/6
硬貨を１回投げて裏が出る確率=1/2
この場合は支払うドルは1,2,3,・・・,11,12ドルのいずれかに
なり、5ドル以下になるにはサイコロ２個の目の和が5以下、
すなわち1,1、1,2、1,3、1,4、2,3の組合わせにならなけれ
ばならず、その確率は10/36=5/18
よって求める確率は(1/2)*(5/6)+(1/2)*(5/18)=5/9
3.
＞第1の財布から5枚の硬貨をとり第2の財布へ移すときに
金貨が移らない確率
=(14/15)*(13/14)*(12/13)*(11/12)*(10/11)=2/3
第1の財布から5枚の硬貨をとり第2の財布へ移すときに
金貨が移る確率=1-2/3=1/3
第2の財布から5枚の硬貨をとり第1の財布へ移すときに
金貨が移る確率=5C1(1/20)=1/4
よって求める確率は(2/3)+(1/3)*(1/4)=3/4

お礼

解説ありがとうございました。1の(b)は先生に確認してみようと思います。

回答No.1

MagicianKuma

いずれも基本的な問題ばかりですが、どこがどうわかりませんか？　でないと答えをお教えするだけになりそうですが。