三角関数と指数関数のフーリヘ変換について

質問

f(t)=exp(-at)cos(bt) (t>=0)　t<0は、０。をフーリヘ変換したいのですが、どうすればいいでしょうか？

どういうやり方をすればいいのでしょうか？

自分でやってみたのですが、自信がありません。

自分でやってみた考え方はこうです。

cos(bt)=exp(ibt)として、後でReal partをとってやればいいのでは？と思いました。

よって、f(t)=exp(-at)exp(ibt)としました。

ここで、F(ω)=∫[0 to ∞]exp(-at)exp(-iωt)を計算しました。

計算結果は、1/(a+iω)となりました。

フーリヘ変換の性質として、exp(ibt)f(t)=F(ω-b)という性質があるので、

先ほど、得られた、1/(a+iω)を、-bだけ推移させるという考え方で

1/{a+i(ω-b)}となりました。

今回求めているのは、exp(-at)cos(bt)のフーリヘ変換であり、

つまり、1/{a+i(ω-b)}のReal partを取ることにして、

Re[1/{a+i(ω-b)}]=a/{a^2+(ω-b)^2}となりました。

F(ω)=a/{a^2+(ω-b)^2}

となったのですが、このReal　partを取る考え方はあっていますでしょうか？

フーリヘ逆変換して答えを確かめようと思ったのですが、

逆変換が分からなく、答えを確かめられないです。

よければ、逆変換もしていただけるとありがたいです。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

深く考えずに、オカシナ方法で計算を短縮しようとしたから、
A No.5 で指摘したような間違いをしたのだと思う。
正しく考えて、根拠のある計算をするべきだ。淡々とね。

当初の質問は、もう解決されたと思うから、
グラフに関する追加質問には、ここでは答えない。
｜F(ω)｜ の式が間違っている とだけ言っておく。
その式では、√F(ω) になってしまう。

回答No.6

alice_44

A No.2 に、ほとんど答えに近いものが書かれてあるのに、
自分では、やってみないの？
∫f(t)exp(-iwt)dt = ∫exp(-at)(1/2){exp(ibt)+exp(-ibt)}exp(-iwt)dt
= (1/2){ ∫exp(-(a-ib+iw)t)dt + ∫exp(-(a+ib+iw)t)dt }
= (1/2){ 1/(a-ib+iw) + 1/(a+ib+iw) } ←収束するのは、a>0 のときだけ
= (a+iw)/{(a-ib+iw)(a+ib+iw)}
= (a+iw)/{(a+iw)^2 + b^2}
被積分関数は複素値だが、実変数で積分しているので、
複素積分と言うほどのものでもない。

No.2 の人に、ちゃんとお礼をしないとね。

補足

理解できました。そういうことでしたか。
深く考えずに単純に淡々と計算していけばいいのですね。

実は、この問題には、フーリエ変換を求めて、a=1,b=0としてその絶対値（|F(ω)|)をとった値を求め、それはどのようなグラフになるかというような問題だったのですが、これはフーリエ変換さえできれば、おそらくできるだろうと思って質問しなかったのですが、これに関しては、
a=1,b=0を代入すれば、(1+iω)/(1+iω)^2=1/(1+iω)となって、
絶対値ということは、複素共役をかけて、そのルートをとるのだから、
それを計算したら、√{(1-iω)/(1+ω^2)}となりました。
これでOKでしょうか？グラフに関してはわかりませんでした。どのようなグラフになるのですか？√がついているので難しいです。

回答No.5

alice_44

←A No.3 補足
ああ、そうか。これは、イイガカリだった。
積分区間については、了解。

間違いは、Re f(x) のフーリエ変換が
Re F(ω) だと考えたことにある。
実関数のフーリエ変換が実関数だとは
限らないから、そんなことは言えない。

補足

すいませんが、やり方だけでもいいんで教えていただけないでしょうか？
複素積分を使わないとできない問題ですか？

回答No.4

asuncion

だから、フーリヘ変換ではないってば。
Fourierという数学者の名前です。

補足

フーリエということは、知っていましたが、タイプミスをしていたようです。
というより、カタカナに変換したときに、一番最初にフーリへででてきて、気付かずそのままになってしまいました。

回答No.3

alice_44

フーリエ変換の定義には、いくつかのバリエーションがあるが、
流石に ∫[0 to ∞] ってことはないと思う。
貴方の教科書の定義を確認してごらん。

参考： http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/fourier.pdf

補足

使ったフーリヘ変換の定義式は、∫[-∞ to ∞]f(t)exp(-ikt)dtというものです。
これは、問題文にこの定義式を使いなさいと書いてありました。

∫[0 to ∞]は、問題から負の領域、t<0では、f(t)=0なので、0から∞の範囲に限って考えました。

それで、答えはあっているのでしょうか？
それとも、複素積分を使って計算するべきですか？

回答No.2

151A48

cos(bt)=(1/2)(exp(ibt)+exp(-ibt))
なので
1/{a+i(ω+b)}　の項も出て，足して２で割っても
a/{a^2 + (ω-b)^2}　にはならないようなのですが，どうでしょう？

補足

つまり不正解ということでしょうか？

考え方のどこが間違っているでしょうか？
自分ではどこがどのように間違っているかわからないので、指摘してもらいたいです。
cos(bt)をexp(ibt)するやり方に関してはあっているのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

たぶん「考え方」はあっているような気がしますが, こんなでたらめな書き方をして人に聞くのはいかがなものかと.