F値について

質問

帰無仮説H0：γ=0のとき、Fｚが次のように示せるようなのですが、全く分かりません。
どなたか詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

M_XZの式において、u の各要素が、独立に、平均 0、分散 σ^2 の正規分布に従う確率変数だと想定します。XとZの要素は、定数とします。よって、yの要素は、確率変数です。

X とZ を横に並べた n×(K+L) 行列をWと書き、βとγを縦に並べた (K+L)×1 行列をαと書くことにします。M_XZは、次の式で表されます：

　　y = Wα + u

σ^2、α、β、γのOLSによる推計値をそれぞれ s^2、a、b、c と書くことにします。

u、y、a、c それぞれの共分散行列をV(u)、V(y)、V(a)、V(c)と書くことにします。

aは、方程式 W'(y-Wa) を解いて得られ、

　　a = (W'W)^(-1)W'y
　　V(a) =σ^2(W'W)^(-1)

したがって

　　V(c)^(-1) =σ^(-2)(Z'(1-Q_X)Z

となります（添付図参照）。

そこで、

　　G = c'V(c)^(-1)c / L
　　H = s^2 /σ^2

と置けば、

　　F_Z = G / H

となります。あとは、次を確かめれば、F_Z がF分布に従うことを証明できます。

[1]　G がカイ二乗分布に従う
[2]　Hがカイ二乗分布に従う
[3]　GとHが独立

[1][2][3]は、よく知られた事実なので、どこか統計の教科書などを探せば出ていると思います。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。
大変役に立ち、無事レポートも提出できました。
詳しく教えていただき、本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#227064

ANo.2補足
> (a)は、「joint significant testが、次式（Fz=）であることを示せ」ということではないでしょうか？

(a)が何かはわかりませんが、Fzが１より十分大きいかどうかを調べれば、γ=0かどうかを検定できることはANo.2に書いたとおりで、問題で求めていることに答えていると思います。
（言葉足らずなところはありますが）

ひょっとして、何らかの数式（確率密度関数とか？）をいろいろ弄るとFzがでてくると思ってますか？

回答No.2

noname#227064

FzがF分布に従うことを示さないといけないのかと最初は思っていたのですが、問題文を読み直すと、Fzを使えばγ=0を検定できることを示せということなのでそこまでは必要ないかと思います。

Fzの分子の期待値がσ^2+γ'Z'QZγ/L、分母がσ^2であることから、
Fzが1より十分に大きい
↓
分子の期待値　＞　分母の期待値
↓
σ^2+γ'Z'QZγ/L > σ^2
↓
γ'Z'QZγ > 0
↓
γ ≠ 0

補足

(a)は、「joint significant testが、次式（Fz=）であることを示せ」ということではないでしょうか？