重力加速度gの求め方

質問

お世話になっております。かなり基本的な質問で恥ずかしい限りです。

自由落下運動する物体の様子を発光間隔1/20s、1目盛2cmの定規を添えてストロボカメラで撮影した実験から、重力加速度gを求めよ、という問題です。
私の計算が正しければ、大体次のように数値が得られます。
0s 0cm 0m/s,
1/20s 2cm(0.02m) 0.4m/s,
2/20s 6cm(0.06m) 0.6m/s,
3/20s 13cm(0.13m) 0.86m/s,(概値)
4/20s 22cm(0.22m) 1.1m/s,
……以下略

これらを使って重力加速度gを求めることになると思うのですが、まず自由落下運動が等加速度直線運動であることから、式v=gtが成り立つだろうと踏んで、上のそれぞれの計測値を代入してみましたが、gが一定になりません。
他にも、等加速度直線運動に関する公式を利用してみましたが、どうにもg≒9.8に近付きもしないのです。

算出のヒントをいただきたく存じます。宜しくお願い致します。

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

ふと気がつきましたが、計算してるのは0秒との間の平均速度ですね。
計算しているのは時刻tの位置をy(t)として、

v(t) = [ y(t) - y(0) ] / [ t - 0s ] = y(t)/t

ではないですか？これで数字があいました。
ですが、その時刻の速度(瞬間の速度)を求めるためにはこれではダメです。

このようなデータから速度を計算するには３つの方法があります。
三つの時刻t1,t2,t3のデータがあるとして(t1<t2<t3)、

[1]前進差分 v(t2) = [ y(t3) - y(t2) ] / [t3-t2]
[2]後退差分 v(t2) = [ y(t2) - y(t1) ] / [t2-t1]
[3]中心差分 v(t2) = [ y(t3) - y(t1) ] / [t3-t1]

v(t)のあたいからa(t)を出す場合も、同じ手段をとらないとだめです。
aが同じ値にならないというのも、

a(t) = [ v(t) - v(0)] / [ t - 0s ] = v(t)/t

を計算しているのではないですか？

やはり今の段階で差分を使うのはいろいろ面倒なので、
y=(1/2)gt^2を使ったほうがいいように思います。

お礼

度々御助言下さりありがとうございます。御指摘の点は正鵠を得ております。
どうも、速度、加速度の定義が一知半解だったようです。
戻るしかなさそうです

回答No.6

multi-otaku

普通に中学生、高校生、大学1年生が重力加速度の実験をしても、９．８になりません。
（教科書、入試問題、参考書も９．８という答を気にしていません。あくまでも実験結果ですから）
９．７なら万歳ではないでしょうか。
９．５－１０．０くらいが普通だと思います（中学生実験では抵抗のため７台もあります）。
空気抵抗と測定誤差が入るため、計測には手間がかかります。
1回の実験ではとても９．８は無理です。

NHK高校講座　物理　第32回 第3編　運動　
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/butsuri/archive/resume032.html

ついでに言うと、精密測定では、真空中を落ちる物体の速度をはかります・
もちろん原子時計とレーザー光と超精密質量計を使います。
重力加速度を使うと、30cmの高度差を測れます。

お礼

ご回答ありがとうございます。その不可能な計算に一日使い果たしてしまいました。私の質問は教科書にあったストロボ撮影した球体の自由落下運動の写真から重力加速度gを求めよという問いが出典ですが、9.8m/s^2に一致しないとはいえ、計算する度に異なる値をとるのは、やはり私の理解が不足しているのだろうと思います。

今回ご回答下さった方々には親身に考えて下さり感謝致します。

回答No.4

yoshi20a

まず質問です。

＞私の計算が正しければ、大体次のように数値が得られます。

何の計算結果でしょうか？
どれが測定値でどれが計算結果ですか?
ストロボ間隔が1/20secで、落下物の位置が測定結果ということでしょうか?
速度は何かで計測したのでしょうか?

EXCELを使ってyとtの関係をグラフにすると、y=4.8571t^2+0.1286t+0.0003となります。
これが本当に等加速度直線運動であれば、y=(1/2)gt^2となるはず。
y=4.8571t^2であれば、g=9.71です。

では、0.1286t+0.0003はなんでしょう？
測定誤差です。
1/20secごとの測定に対し、測定がcmというのが粗いのです。
つまり、実験の精度事態が悪く、ここから得られる結果は信憑性が低いと言うことです。

結果が安定しない＝ダメ実験と言うことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご回答にある御質問ですが、拙いですが画像を添えました。分かりにくいかも知れませんが、球体が落下する様を1目盛2cmのスケールを添えて、1/20s間隔でストロボ撮影したものです。撮影された間隔から、1/20s後、2/20s後……の球体の位置はスケールから測れますから、cmをm換算したもの、またそれぞれの0秒から考えた平均の速さが当方の質問にある数値になっております。少なくとも今の私に読み取れる情報といったところです。

回答No.3

foomufoomu

No.1回答にもありますが、自由落下(初速度ゼロ)の式は
x=1/2*g*t^2
です。v=gtをtで積分すると得られます。
これから落下距離を計算すると
1/20s 0.0125m
2/20s 0.049m
3/20s 0.1103m
4/20s 0.196m
で、質問のものとは微妙に数字が違います。
たぶん、1/20sごとにｖを計算して、そこから距離を出して、合計していると思いますが、それでは等加速度でなく、階段状速度変化の計算になっています。ためしに、うんと計算の間隔を細かく(1/1000sとか)してみてください。

あと、実験では、空気抵抗の影響が少ないもの(鉄球など)を使う必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございます。正しくおっしゃる通りの計算をしておりました。
中々難しいですね

回答No.2

hitokotonusi

この場合、測定が粗いので差分から速度を求めるのはあまりよくないようですね。

y=(1/2)gt^2

の方を使って、位置(y)をt^2/2に対してしプロットし、
傾きからgを出してみてください。

私がやってみたところでは、それで10.9m/s^2になりました。
少しズレていますが、測定精度の問題でしょう。

それと、速度の計算も正しくないようです。

お礼

換算間違っておりましたか……それでは前提から間違ってしまいますね…

cm/s で考えても問題ないですか？

補足

補足です。

等加速度直線運動に関する等式にはいずれも加速度aが含まれますが、解の筋道の整合性を確かめるのに(検算と言って良いのでしょうか)、三つの式に既知の値や得た値でこれを確かめることは出来ますか？

回答No.1

gohtraw

等加速度運動の式
ｘ＝ｖ０ｔ＋ｇｔ＾２／２
を使って、
ｔ＾２（時間の二乗）に対してｘ（物体の位置）をグラフ化すると傾きがｇ／２の直線になるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。何か理解が足りないみたいです。もう少し基礎に立ち返ってから、ご回答の意味を考えてみようと思います。