数学の問題

質問

107は素数、7^2017を107で割ったあまりを求めてください

回答No.3

noname#232491 · ベストアンサー

答え　３２。 (長文になります。）
7^2017なんて数　じゅうぶんに巨大すぎるのでまともにやらず
応用に向かないセコい方法で　でも地道に解いてみました。
7^3=343
343÷107=3 あまり22の　２２を足がかりにしています。　
（もう少し自分が数学に詳しければスマートな方法がきっと見つかるのでしょうが…）
7^3と7^105の場合のあまりが　２２と一致しました。あとは繰り返しでした。
7の102乗ごとに　あまりが一致しています。（7^1, 7^2を除く）
7^2017=7^(102×19+79)より
7^79の場合のあまりと同じ　３２が答えとなるのではないでしょうか。
以下に７の累乗を107で割ったあまりを　列記しておきます。
1 　7^1 (107で割ったあまり,以下略）７
2　 7^2　()49
3　 7^3 ()22 * ここから先は22×７＝154 と　あまりに７を掛けて　107で割ったあまりの繰り返しになります
4 7^5 ()47
5 7^6 ()8　　　途中
6 7^8 ()56　　長い　
7 7^9 ()71　　です…。　
8 7^8 ()69
9 7^9 ()55　　
10 7^10 ()64
11 7^11()20
12 7^12()33
13 7^13()17
14 7^14()12
15 7^15()84
16 7^16()53
17 7^17()50
18 7^18()29
19 7^19()96
20 7^20()30
21 7^21()103
22 7^22()79　
23 7^23()18
24 7^24()19
25 7^25()26
26 7^26()75
27 7^27()97
28 7^28()37
29 7^29()45
30 7^30()101
31 7^31()65
32 7^32()27
33 7^33()82
34 7^34()39
35 7^35()59
36 7^36()92
37 7^37()2
38 7^38()14
39 7^39()98
40 7^40()44
41 7^41()94
42 7^42()16
43 7^43()5
44 7^44()35
45 7^45()31
46 7^46()3
47 7^47()21
48 7^48()40
49 7^49()66
50 7^50()34
51 7^51()24
52 7^52()61
53 7^53()106
54 7^54()100
55 7^55()58
56 7^56()25
57 7^57()60
58 7^58()99
59 7^59()51
60 7^60()36
61 7^61()38
62 7^62()52
63 7^63()43
64 7^64()87
65 7^65()74
66 7^66()90
67 7^67()95
68 7^68()23
69 7^69()54
70 7^70()57
71 7^71()78
72 7^72()11
73 7^73()77
74 7^74()4
75 7^75()28
76 7^76()89
77 7^77()88
78 7^78()81
79 7^79()32 (ここ　だけ重要)
80 7^80()10　　
81 7^81()70
82 7^82()62
83 7^83()6
84 7^84()42
85 7^85()80
86 7^86()25
87 7^87()68
88 7^88()48
89 7^89()15
90 7^90()105
91 7^91()93
92 7^92()9
93 7^93()63
94 7^94()13
95 7^95()91
96 7^96()102
97 7^97()72
98 7^98()76
99 7^99()104
100 7^100()86
101 7^101()67
102 7^102()41
103 7^103()73
104 7^104()83
105 7^105()22 （7^3の場合と一致）　　　
106 7^106()47 （7^4の場合と一致）
（…以下省略）
追伸　４０００文字入力可能に感謝。（これで約１９００字）

お礼

オイラーの定理を使うと、簡単に出来ました。
たくさん書いて、ご苦労様でした。
ありがとうございます。

回答No.4

noname#232491

no.3です　　２２が答えですね。
（前回のは　ダメ回答です。申し訳ないです）
前回の考え方で
104 7^104()83 の次は正しくは
105 7^105()46　　
106 7^106()1
107 7^107()7 (7^1 の場合と一致）
108 7^108()49（7^2の場合と一致）
109 7^109()22 (7^3の場合と一致）
・
・
で　７の１０６乗ごとに　１０７で割ったあまりが一致するのが正しいです。

7^2017=7^(106×19+3)となることから
7^3の場合のあまり　２２が答えです。

回答No.2

Tacosan

うん, 手元の電卓も 22 といっている.

回答No.1

m0r1_2006

22