- ベストアンサー
集合論についての質問です。
次の問題がわかりません。解答や、解くためのヒント、アドバイスよろしくお願いします<(_ _)> Aは可算集合でf:A→Bは写像とする。 f(A)が無限集合ならば、f(A)は可算集合であることを示せ。 よろしくお願いします。
- alser_1014
- お礼率25% (6/24)
- 数学・算数
- 回答数8
- ありがとう数1
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
f:A→B の Aによるfの像がf(A)である、このf(A)をCとし、次の写像f'を考える f':A→C このとき、任意のCの元y∈Cに対して、y=f'(x) なるx∈Aが存在する。 よって写像f'は全射である。写像f'が全射 であれば、#C≦#A (#は濃度を表す)が成り立つ。 題意より、#Cは無限濃度、一方#Aは可算濃度 可算濃度は最も小さい無限濃度なので、#C=#A ということなんだけど、もっと根源的(公理)にもどって証明するのかな? 以外に難しいねぇ。
その他の回答 (7)
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
集合論が専門でないので、頼りないかもしれませんが… 一般に『写像』の定義から、 集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度はAの濃度を超えません。 したがって、可算集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度は 可算無限あるいはある自然数nに一致します。 ですが、f(A)は無限なので、f(A)の濃度は可算無限に限られます。
- rinkun
- ベストアンサー率44% (706/1571)
Aは可算なのでN(自然数全体の集合)の中への単射がある。 x∈f(A)を取ると、f^-1(x)⊆Aは空でなく、異なるxでは交わらない集合になる。 各xについて、f^-1(x)の最小要素(Nへの単射を使って定義する)yを取ることができる。 このとき、対応g: x |-> y はf(A)からAの中への単射になる。 従って、f(A) -> g(f(A))は全単射で、g(f(A))⊆Aよりg(f(A))は可算なので、f(A)も可算。
以下はたぶん、#2さんと同じですが、少し見やすい(?)形で・・・。ただし、Aは高々可算という意味に取りました y∈f(A)に対して、その逆像をf^(-1)(y)と書きます(f^(-1)(y)⊂Aです。念のため)。y1,y2∈f(A)かつy1≠y2について、 ・f^(-1)(y1) ∩ f^(-1)(y2)=φ は明らかです(写像の定義)。そうすると関係R、 ・R: f(x)=f(y)(x,y∈A) は、A上の同値関係であろうと、すぐ見当が付きます(すぐ示せます)。Rによるxの同値類をC(x),RによるAの商集合をZとすると、 f=j・h・i: A→Z→f(A)→B (・は写像の合成) i: x→C(x) は全射 (x∈X,C(x)∈Z) h: C(x)→f(x) は全単射 (f(x)∈f(A)) j: f(x)→y は単射 (y=f(x)∈B) も、i,h,j の定義より、ほぼ明らかです。 hが全単射なので、Cardで集合の濃度を表せば、 ・Card(f(A))=Card(Z) (濃度の定義) です。さらに、i が全射なので、 ・Card(f(A))=Card(Z)≦Card(A) (濃度の定義) になります。従ってf(A)の濃度は、可算無限以下。よってf(A)が無限集合なら、可算無限と同濃度(任意の無限濃度は、可算無限以上でもあるから)。 #2さんの方法は、f=j・h・i を、f(A)の側からたどったような感じです。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
No.1 だけども。 いや、何が言いたいか? しまった、WIKI今消したよ、また引っ張ってこよう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88 うん、だから何が聞きたいのかすら分からないのよ。 σ(・・*)は代数だけどね。 Aは 無限集合なわけでしょう?可算集合だから。 実際には無限じゃなくてもいいんだね。 f という写像を持ってきて、 可算集合のとある要素 a∈A こうしておこうか、 を f(a)=b b∈B ってことだよね。 可算集合の要素だから、 a は部分集合でもなんでもいいわけだよね。 でね、今問題では、 ~~~~~ Aが 無限集合 としてあるのと同じこと。 実際は f(A) が無限集合 としたあるね 十分条件ね。 これを B とおくと、 Bは当然可算集合だよね? #無限集合なんだから。 fが介入しているだけで、特別なことは何もないと思うんだけど。 ~~~~~ fが変な写像だったらいけないけど、何も書いていないからね~。 No.2さんがかいてあるけど、 one to one ですよ、 かなにか書いてないかな?ってことだけよ。 書いてないんだったら、 f は 全単斜です としてしまえば、 至極当たり前のことじゃない? 質問がしてあるから、もう少し何かあるのかな? と思ったんだけど、 何もないのなら、~~~~ で上に書いた部分で証明終わりでいいと思うけど? 連続体か何か? 難しく考えすぎじゃないかなぁ? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=) σ(・・*)多分、今連続体なんて考えても、分からないと思うけど。 倒れた拍子にだいぶ落ちてるからね^^; 問題がこれだったら、何がしたいんだかさっぱり分からない
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
可算集合の部分集合は結局可算だと思うんだな.
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
何かすっきりといい方法が思いつかない... 以下f(A) = Cとおく Aの選択関数をΦとして(可算と分かっているのでここでは選択公理は いらない)、 g: C->A を g(y)=Φ(f^(-1)(y))とすれば、gはCからg(C)への全単射で、 g(C)はAの部分集合だから高々可算。 g(C) = Dとしてh: D->Cを h(x) = g^(-1)(x)で定めると hはDからCへの全単射。 よって、以下を示せば良い。 「Dは高々可算で h:D→C はDからCへの全単射とする。 Cが無限集合ならば、Cは可算集合である」 Cは無限集合なので、(選択公理を使って)Cは可算集合を含む。 それをEとし、h^(-1)のEへの制限をjとし、jの像をFとする。 jはEからFへの全単射。FはDの部分集合で、しかもFは可算 (可算集合から有限集合への全単射は無い)。 よってDも可算であって(有限集合は可算集合を含めない)、 C=h(D)も可算である。 ...もっとうまい方法希望..
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
ん? どういうこと? 書き間違いかな? f(A) = B 集合だからイコール使うのがいいかどうかは ちょっと今置いて置いてください。m(_ _)m Bが無限集合なら、Bは可算集合? ん? 何が聞きたいのかが分からない。。。 (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
補足
私もあなたがなにいっているかさっぱりわかりません。
関連するQ&A
- 無限集合に関することです。
無限集合に関することです。 自然数全体を可算無限個の互いに交わらない集合A1,A2,A3・・・(どのAkも可算無限集合)の和として表わされることを示したいのですがどうすれば良いですか? 可算無限集合は自然数全体の集合との間に1対1対応の関係がある集合のことなのに、自然数全体を互いに交わらない集合で示せるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合論についての質問
松坂さんの『集合位相入門』からです。 p30によると、f:A→Bの写像として,PをAの任意の部分集合とするとき。 f(P)={b|∃a∈P(f(a))=b)} と表記できます。 一方QをBの任意の部分集合としたとき、 f-1(Q)={a|f(a)∈Q}と書かれています。 質問(1) これをf-1(Q)={a|b∈Q.f(a)∈Q}と書くこともできますよね? その場合、f(P)の場合のように、f-1(Q)={a|∃b∈Q.f(a)∈Q}と∃記号を使わなくていい理由を教えてください。 質問(2) a){x|C_1(x)∨C_2(x)}={x|C_1(x)}∪{x|C_2(x)} b){x|C_1(x)∧C_2(x)}={x|C_1(x)}∩{x|C_2(x)} という関係は成り立ちますよね。 質問(3) p31の定理3からです。 質問(2)の内容を認めたら、 (4.3)'は f-1(Q1∩Q2)={a|f(a)∈Q1∩Q2}={a|f(a)∈Q1∧f(a)∈Q2}={a|f(a)∈Q1}∩{a|f(a)∈Q2} =f-1(Q1)∩f-1(Q2) となります。 同様にすると(4.3)も f(P1∩P2)={b|∃a∈P1∩P2(f(a)=b)}={b|∃a∈P1(f(a)=b)∧∃a∈P2(f(a)=b)} ={b|∃a∈P1(f(a)=b)}∩{b|∃a∈P2(f(a)=b)} =f(P1)∩f(P2) という間違った結果が証明されてしまいます。 これは∃があるときとかが絡んでいるんでしょうがいまいちわからないです。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合の問題です
集合Aから集合Bへの写像fについて、Bの各要素yについてf(x)=y となるAの要素xが必ずある場合に、fをAからBの上への写像とよぶ。 たとえば、A={1,2,3,4,5}、B={a,b}のとき、f(1)=f(2)=f(5)=a , f(3)=f(4)=b とする 写像fはAからBの上への写像であるが、g(1)=g(2)=g(3)=g(5)=bとする写像gはg(x)=aとなるA要素xがないので、AからBの上への写像ではない。 問1 {1,2,3,4,5}から{a,b}への写像は全部で何個ありますか。 問2 {1,2,3,4,5}から{a}の上への写像は全部で何個あるか。また{1,2,3,4,5}から{b}の上への写像は全部で何個あるか。 問3 {1,2,3,4,5}から{a,b}の上への写像は全部で何個あるか 宜しくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 2つの可算無限集合においてその直積は可算無限集合である
2つの可算無限集合においてその直積は可算無限集合であるということ{f(i,j)=1/2(i+j-1)(i+j-2)+j}を数列、または格子を使って証明するにはどうしたらよいか教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- "無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。
次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。 問: 無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ 解: R-Q から R への全単射の存在を示せばよい R-Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合 よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので 関数 g:R-Q →Rを g(x)= { x (x∈R-A) 〔 f(x) (x∈A) と定義すると g は全単射である ■ 最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合の濃度に関する質問です
可算無限集合Aの濃度をα_0(アレフ0) R^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数) Aの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?) ※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。 なので以下αはアレフと読むことにします。 このとき (1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと (2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと の2つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか? それとも2^α_0=α_1なのでしょうか? 私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか?(つまり、α_1>2^α_0の可能性はない) 来年度に数学科2年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。 [補足] (1)については Aが可算(自然数全体の集合Nとの間に1対1かつontoな写像ができる)である一方で、Rは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。(RとR^nの濃度が等しいことの証明は省略します) (2)については Aの冪集合の濃度、つまり元の個数を、Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。 「Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させる」とは、 たとえば、A={1,2}であればAの冪集合の濃度(個数)は2^2=4個ですが、これを 0,22⇔Φ(空集合) 0,12⇔{1} 0,21⇔{2} 0,22⇔{1,2} というように小数に対応させるということです。 "大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
一番わかりやすかったのでこの回答をベストアンサーにしました。 みなさんさまざまなアイディアありがとうございました<(_ _)>