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高さhの電柱の頂上に電灯が ついている。そのふもとから 身長Lの人が速度vで走り去る。 その人の影は走り去る方向に どんどん伸びていく。 ここでh>Lとする。 (1)人の影の先端の速度は? (2)人の影の単位時間あたりの 伸びはいくらか?

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回答No.1

図を描いて考えましょう。 出発してから時間 t が経過したときの関係を描きます。 出発点をO、電柱の頂点をP、人の足下をB、頭のてっぺんをA、影の先端をC とすると △CABと△CPOとが相似形であることがわかるはずです。 <<図を描けば簡単に理解できるはずです。この点は手抜きしてはいけません>>   相似形だということがわかれば、対応する辺の比が等しいのですから AB:PO=CB:CO  式(1) CBは人が歩く速さ×時間に等しいですから CB=v・t  式(2) COは、影が進んだ距離です。 (1)、(2)から L,h,v,tを用いて CO=… 速さ=進んだ距離÷時間 で定義されますから、 求める速さ=CO÷t=… 次に影の伸びです。 時刻tの時の影の長さxがCOでした。(以下では、影の長さをxと書くことにします) では、この時点から極く短い時間Δt経過したとき、影の長さ(x’)はいくらになっているでしょうか? xは、時間tを含んだ式になっていますから、xを表す式で、tの所を t+Δt に置き直したものがx’になります。 x’=… これは、時刻tでの影の長さxより、ちょっとだけ長くなっていますが、その差は x’-x=… この差 x’-x を、経過時間Δt で割ってやると、求める"単位時間当たりの影の伸び"が求まります。 計算すると直ぐに気がつくでしょうが、"単位時間当たりの影の伸び"は、"影の先端の速さ"と同じ値になることがわかるはずです。

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