単原子分子で比熱比γが5/3の気体Aと2原子分子で

質問

単原子分子で比熱比γが5/3の気体Aと2原子分子で比熱比が7/5の気体Bがある。
最初、圧力、体積、温度が等しい状態から断熱圧縮で体積を最初の体積の1/2にした。
このときAとBの気体について、気体がした仕事の比、最後の状態の圧力の比、温度の比を求めよ。

仕事の比は1.10、圧力の比は1.20、温度の比は1.20になるそうなんですが、わかりません。

計算の過程を教えてください。
おねがいします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

断熱変化では
　Ｐ・V^γ＝一定
という関係が成り立っています。

出発時の圧力をＰ，体積をＶ，絶対温度をＴとします。
体積が(Ｖ/2)になった時の圧力をＰ',絶対温度をＴ'とします。

Ｐ・Ｖ^γ＝Ｐ'・(Ｖ/2)^γ
ですから
Ｐ'/Ｐ＝((Ｖ/2)^γ)/(Ｖ^γ)＝２^γ
∴求める圧力比は　2^(γ-γ')＝2^(5/3-7/5)=1.20

状態方程式が成り立つとして
ＰＶ＝ｎＲＴ
Ｐ'・(Ｖ/2)＝ｎＲＴ'
Ｐ'=Ｐ・2^γ　でしたから
ｎＲＴ'＝(Ｐ・2^γ)・(Ｖ/2)＝ＰＶ・2^(γ-1)＝2^(γ-1)・ｎＲＴ
∴Ｔ'/Ｔ=2^(γ-1)
∴求める絶対温度の比は　2^((γ-1)－(γ'-1))＝2^(γ－γ')＝1.20

断熱変化の場合、仕事は、ｐ・dVから計算するのではなく、熱力学第1法則から求めた方がスッキリします。

断熱変化なので、外部から出入りした熱量Ｑ=0ですから、ΔＵ－Ｗ＝Ｑ
気体がされた仕事Ｗは、　Ｗ＝ΔＵ　と評価できます。
気体がした仕事なら　－Ｗですが、今問題にしている仕事の比率では、した仕事で評価しても、された仕事で評価しても同じ結果になりますから、どちらで計算しても構わないはずです。

ΔＵ＝ｎＣv・ΔＴ
です。
Ｔ'/Ｔ=2^(γ-1)　でしたから　ΔＴ＝Ｔ'－Ｔ＝(2^(γ-1)-1)・Ｔ　です。
一方、　Ｃp－Ｃv=Ｒ　，　γ＝Ｃp/Ｃv　でしたから
Ｃv＝R(γ-1)なので　Ａでは　Ｃv=3/2，　Bでは　Ｃv=5/2　であることがわかります。

∴求める仕事の比は
　{ｎ・Ｃv・(2^(γ-1)-1)Ｔ}/{ｎ・Ｃv'・(2^(γ'-1)-1)Ｔ}
＝　{(γ-1)・(2^(γ-1)-1)}/{(γ'-1)・(2^(γ'-1)-1)}
＝1.10

お礼

返事遅れて申し訳ありません。

丁寧にありがとうございました！

回答No.2

htms42

＃１
＞断熱変化では　Ｐ・V^γ＝一定　という関係が成り立っています。
＞・・・・・・（中略）・・・・・
＞状態方程式が成り立つとして　ＰＶ＝ｎＲＴ

ちょっと気になります。

ｐＶ^γ＝一定　という式を導く時には　第一法則と理想気体の状態方程式を使っています。
従って「ｐＶ＝ｎＲＴが成り立つとき」という断り書きを書くとすれば＃１の解答の一番最初の場所になるはずです。

お礼

返事遅くなって申し訳ありません。
細かい説明ありがとうございました！