ベクトルの問題を教えてください…！

質問

ベクトルa,ベクトルbを|ベクトルa|＝1、|ベクトルb|＝1/2とする。|ｔ・ベクトルa＋ベクトルb|の最小値が√3／4である。ベクトルa,ベクトルbのなす角θを求めよ。(ただし、0°≦θ≦180°)

回答No.6

htms42

＃３です。
何度もすみません。

＞ＯＢを一辺とする正三角形ＯＢＢ’を書けばＢＢ’はｃ３に接しています。

この「ｃ３」も誤りです。
半径がると√３／４の円ですから「ｃ１」です。

回答No.5

htms42

＃３です。ミスタイプがありました。
＞最小値が√３／４であると与えられていますからＢから引いた線は円ｃ２に接するはずです。
これでＯＡの方向が決まります。
点Ｂから円ｃ２に引いた接線の方向です。ｔの値は接点の位置から決まります。

「ｃ２」は「ｃ１」の誤りです。
申し訳ありません。

回答No.4

alice_44

じゃ、私は
「ベクトルは代数だ」と思う人の解法を…

ベクトルa とベクトルb の成す角が θ であるとき
内積に関して　a・b = |a| |b| cosθ であることは、
中学校で習ったのではないかと思います。
特に a = b = x のとき、x・x = |x|^2 です。
これを使って…

内積の値を a・b = p と置くと、
|ta+b|^2 = (ta+b)・(ta+b)
= (t^2)(a・a) + 2t(a・b) + (b・b)
= (1^2)t^2 + 2pt + (1/2)^2
= (t + p)^2 - p^2 + 1/4
≧ -p^2 + 1/4　(等号は t = -p で成立) より、

|ta+b|^2 の最小値が {(√3)/4}^2 であれば、
{(√3)/4}^2 = -p^2 + 1/4 すなわち
p = ±√(1/4 - 3/16) = ±1/4 です。

cosθ = a・b / { |a| |b| }
= (±1/4) / { 1・1/2 } = ±1/2。
成す角は 0<θ<180° の範囲だから、
θ = 60° または 120°

回答No.3

htms42

幾何的にやってみます。
ベクトルは幾何的にやる方が私の性にあっています。

Ｏを中心とする円を３つ書きます。内側からｃ１、ｃ２、ｃ３とします。
半径は　√３／４、１／２、１です。

ｃ３の円周上に点Ａを、ｃ２の円周上に点Ｂを取ります。
矢印ＯＡがベクトルａに、矢印ＯＢがベクトルｂに対応します。
ＯＡ，ＯＢを２辺とする平行四辺形の対角線ＯＰはベクトルの和　ａ＋ｂに対応します。
ｄ＝ｔａ＋ｂとします。
ｔを変えるとベクトルｄの矢印の先の点ＤはＢＰ上、またはＢＰの延長線上を動きます。
ＯＤの長さの最小値はいくらになるでしょうか。
Ｏから直線ＢＰまたはその延長線上に下ろした垂線の長さが最小値です。
最小値が√３／４であると与えられていますからＢから引いた線は円ｃ２に接するはずです。
これでＯＡの方向が決まります。
点Ｂから円ｃ２に引いた接線の方向です。ｔの値は接点の位置から決まります。
接線は２本書くことができますから接点も２つ存在します。

√３／４は一辺の長さが１／２の正三角形で頂点から下ろしたの垂線の長さです。
ＯＢを一辺とする正三角形ＯＢＢ’を書けばＢＢ’はｃ３に接しています。
∠ＯＢＢ’＝６０°です。∠ＢＯＡ=１２０°であることが分かります。
ＤはＢＢ’の中点です。この時、ｔ＝１／４です。
もう一つの接線は２４０°のところにあります。ｔ＝１／４です。
角度の範囲が０≦θ≦１８０°ですから矢印の向きを逆にしたものを考えます。その代わりｔの符号を負にすれば同じ内容になります。

答えは２つです。
１２０°　ｔ＝１／４
　６０°　ｔ＝－１／４

回答No.2

spring135

ベクトルa,ベクトルbをVa、Vbで表す。
VaとVbの間の角が問題であるから
VaとVbで構成する平面において、2次元座標O-xy系をとり、
Vaの始点をOとしてx座標軸上にとり
Vbの始点をOとしてx座標からの角度をΘとすることができる。
x方向の単位ベクトルをui,y方向の単位ベクトルをujとすると

Va=ui

Vb=(1/2)(cosΘui+sinΘuj)

Vt=ｔ・ベクトルa＋ベクトルb=(t+cosΘ/2)ui+(sinΘ/2)uj

|Vt|^2=|ｔ・ベクトルa＋ベクトルb|^2=(t+cosΘ/2)^2+(sinΘ/2)^2

=t^2+tcosΘ+1/4

=(t+cosΘ/2)^2+1/4-(cosΘ)^2/4

|Vt|が最小値をとるときは|Vt|^2も最小値をとり

t=-cosΘ/2のときである。

この時|Vt|の

最小値Minは

Min=√(1/4-(cosΘ)^2/4)=√(1-cos^2Θ)/2=sinΘ/2

これが√3／4であることから

sinΘ=√3/2

Θ=π/3,t=-1/4またはΘ=2π/3,t=1/4

回答No.1

gohtraw

ベクトルａをｘ軸上（始点を原点、終点を（１，０）として）におき、ｘ軸上の点（ｔ、０）を始点としてベクトルｂがあるとします。すると
ｔ・↑ａ＋↑ｂ＝（ｔ＋ｃｏｓΘ／２、ｓｉｎΘ／２）
で与えられます。このベクトルの絶対値の二乗は
ｔ＾２＋ｔｃｏｓΘ＋（ｃｏｓΘ）＾２／４＋（ｓｉｎΘ）＾２／４＝ｔ＾２＋ｔｃｏｓΘ＋１／４
です。これをｔの二次式とみて平方完成すると
（ｔ＋ｃｏｓΘ／２）＾２－（ｃｏｓΘ）＾２／４＋１／４
この最小値が（√３／４）＾２＝３／１６になればいいので
－（ｃｏｓΘ）＾２／４＋１／４＝３／１６
（ｃｏｓΘ）＾２＝４＊（１／４－３／１６）
　　　　　　　　＝１／４
あとはご自分で。