等比数列の見つけ方

質問

お世話になっております。数列についての質問です。

問「ある野生動物の総頭数はa0頭と推定され、その年間の出生率と死亡率はそれぞれp、qとみられている。この動物は年間b頭捕獲することが認められている。但し、(出生率)=(出生頭数)/(総頭数)、(死亡率)=(死亡頭数)/(総頭数)とする。いま、毎年b頭捕獲するとして、この動物のn年後の総頭数を求めろ」

途中まで、

考え始める年の最初の総頭数がa0で、出生頭数は加え、死亡頭数は引く。この考え方から…
一年後の頭数a1=a0(1+p-q)-b
二年後は一年後の総頭数を基準に死亡率と出生率を算出すると考えれば、
二年後の頭数a2=a0(1+p-q)^2-b(1+p-q)-b
同様にして
三年後の頭数a3=a0(1+p-q)^3-b(1+p-q)^2-b(1+p-q)-b

n年後の総頭数an=a0(1+p-q)^n-b(1+p-q)^(n-1)-……-b(1+p-q)-b

ここから先が分かりません。等比数列に関する問題なので、等比数列の一般項を用いて、式に表すのが目標かと思うのですが、
この数列が等比数列であることの示し方、またこれが等比数列であるとして、公比を隣接2項からどうはじくのか…等々分からないことばかりです。
何卒宜しくお願い致します

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

漸化式をつくりましょう

n年でa(n)
出生率p => pa(n) 増える
死亡率q => qa(n) 減る
b頭捕獲 => b　減る

ということで
n+1年のa(n+1)は

a(n+1)=a(n)+pa(n)-qa(n)-b
a(n+1)=(1+p-q)a(n)-b

最初はa(0)=a0

この数列は等比数列ではありません．
一番基本的な漸化式なので
参考書とかを見ましょう

お礼

早速のご回答ありがとうございます。漸化式が、その前の基礎をおさえないとてこずると聞いたので、改めて整理しようとやり直した中での問題ですので、漸化式の知識がなくても解けるのでは、と思ったのですが、違ったみたいですね(泣)

後に取っておこうと思います。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
#1さんの言われているとおり、
「毎年b頭捕獲」というところが総頭数に比例しない項なので、
数列：a(n)自体は等比数列にはなりません。

ただ、漸化式を解く過程で等比数列の考え方を用います。
a(n+1)＝ (1+p-q)*a(n)- b

ここで、
a(n+1)- X＝ (1+p-q)* { a(n)- X }　・・・(1式)

という形を要請してみます。そして、これを満たす Xを求めます。
Xが求まると、a(n)- X＝ b(n)と置くことで、
b(n+1)＝ (1+p-q)*b(n)

という等比数列の漸化式に置き換えることができます。

(1式)のところで Xを求めるわけですが、
これは a(n+1)→ X、a(n)→ Xと置き換えた方程式
X＝ (1+p-q)* X- b

と同じ答えになります。
このような方程式を「特性方程式」と呼んだりします。

漸化式の問題は、等比か等差の形にどうにかして変形していく問題ともいえます。
そのためには「うまい」変形が必要ですが、これは慣れの部分もあるかと。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5465272.html

お礼

了解しました。取り敢えず、まずは漸化式までをキチンと押さえたいと思います。

ご回答ありがとうございました。