自明な近似？について

質問

物理での扱いで

x << y の時に
x / y ≒ 0 と近似して大丈夫ですかね？

また同じ条件で
x + y ≒ y も成り立ちますか？

当たり前っぽいですけど
ソースが見つからないんです。
当たり前すぎてどこにも載ってないだけ？

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

＞x / y ≒ 0 と近似して大丈夫ですかね？

状況次第です。 1 + x/y +( x/y)^2 ・・・・なら

1 + x/y + ・・・・ ～ 1

と近似することは可能です。0次まででいいならばという条件つきですが。

しかし、x/y + x/y)^2 ・・・・ならx/yが主要項になりますからx/yを0にはできません。が、

x/y + x/y)^2 ・・・・＝(x/y)[ 1 + (x/y) + ・・・・]

と変形した後の[]の中については、(x/y)以降を0にして1と近似することは可能です。

ようするに、x/yがメインタームであれば0に近似することはできませんが、1+(x/y)の1のように、
より大きな項が他にあれば0に近似することは可能です。
0次までの近似でいい場合という条件もつきますが。

＞x + y ≒ y も成り立ちますか？

この場合は

x + y = y ( 1 + x/y)

とできるので、1に対してx/yを無視してよいという条件であれば近似出来ます。

お礼

とてもよく分かりました。ありがとうございました。

回答No.3

tance

近似はちょっとずるい表現なのです。

x << y を例に取ると、x = 0.01 y = 100 だと x/y = 0.0001ですが、
精度1ppmの話しをしている場合はこれは「大きい」とみなせます。

1 + x/y だったとしても1.0001 は1.000000に比べてすごく大きいです。

つまり、要求されるレンジや精度によって「十分大きい」とか言う
表現は程度が違ってきます。　イメージとしては x << y と x <<<<< Y
の違いを意識する必要があるわけです。

はじめに「ちょっとずるい表現」と書いたのは、近似をしていって
どこかで近似誤差によりまずいことが生じたら、それは「<」の数が
足りなかった、と解釈するからです。

結果的にどこにも近似誤差が問題にならないだけの近似をする、
というのが近似の基本です。≒0 が成り立つだけx と yの差（比）を
大きくするわけですから、ある意味ではいつも ≒0 は成り立ちます。

お礼

No2さんと本質的には同じことですね。丁寧にありがとうございました。

回答No.1

eatern27

そのように近似しても良い場合もありますが、
いつでもそのように近似してはいけない場合もありますね。

お礼

ありがとうございました。