数学 １次独立

質問

次のベクトルは１次独立か調べよ。
（１）ａ＝（１、２）、ｂ＝（－２、－４）
ｃ１ー２ｃ２＝０
２ｃ１－４ｃ２＝０
にしてそれぞれ
ｃ１＝２ｃ２
２ｃ１＝４ｃ２
ｃ１＝２ｃ２
で答えを見ると１次独立ではないと書かれていたのですが
この１次独立か１次独立じゃないかの違いはｃ１＝０じゃない場合は
１次独立じゃないってことなんですか？どなたか教えてください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

どこから話したらよいかよくわからないので、
一次独立から。

質問の c1・a + c2・b = (0, 0) で (c1 または c2 が非ゼロ)

で一次独立の定義にしている本もたくさんありますが、
一次独立とはベクトル群の性質のことです。

ベクトル群 を x1, x2, x3, ・・・ xn とすると
その中の任意のベクトル xi が自身を除く他のベクトルの
スカラー倍の和で表すことができないということです。

数式で表すと

xi = b1・x1 + b2・x2 + ・・・ + b(i-1)・x(i-1) + b(i+1)・x(i+1)+ ・・・ bn・xn
＃右辺には xi が含まれない。b1～bn はスカラー値で、その中のいずれかが非ゼロ

というふうに表すことが、「全ての」 xi(x1～xn) でできないということです。

もしそういうものがあるとすると、式を変形すると

b1・x1 + b2・x2 + ・・ + b(i-1)・x(i-1) + xi・(-1) + b(i+1)・x(i+1)+ ・・ bn・xn = 0

とできますから、
c1・x1 + c2・x2 + ・・ ・・ + cn・xn = 0 (c1～cnはスカラー値)

という形の方程式が、c1～cn の中に非ゼロが含まれる解を持つことになります。

c1～cn の中に非ゼロが含まれる解を持つことが、一次独立ではないこと(上の逆)の
証明も簡単です。

結局、

c1・x1 + c2・x2 + ・・ ・・ + cn・xn = 0 (c1～cnはスカラー値)

という形の方程式の解が c1=c2=・・・cn=0 だけの場合、一次独立
ということになります。

オンラインのいいかげんな解説なので、是非線形代数の入門書を見てください。

回答No.1

okada2728

（ｃ１，ｃ２）＝（０，０）しか解がない場合が1次独立、それ以外（今回）は1次独立ではない（1次従属)、というのでは？