どんな漸近線も最終的には同一になってしまうのですか

質問

放物線は互いに相似だそうですが、漸近線にも同じようなことがあるのでしょうか。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> 同一の漸近線を共有する二つ（あるいはそれ以上の）グラフが漸近線から遠く離れているときには言うまでもなく違って見えても

　漸近線上の点Pで漸近線と直交する直線Lを考え、Lが曲線fと交差する点をQとして、PQの距離をF(P)とし、Lが曲線gと交差する点をRとして、PRの距離をG(P)とするとき、G(P)／F(P)がどうなるかを考えれば良いでしょう。つまり、F(P)を基準にしてG(P)を眺める。（ANo.1の例ならば漸近線がx軸なので、単に両者の比をとれば良い訳です。）そうすると、「言うまでもなく違って見え」ることが分かるでしょう。

お礼

勉強させていただきます。ごていねいにご教示いただきありがとうございます。

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

> 漸近線に限りなく近づいても同一ではないといことがどうしても理解できません。

　どういう場合について、何が「漸近線に限りなく近づ」く、という話をなさっているのか、また、何と何が「同一ではない」とおっしゃっているのか、が分かりません。

補足

コメントありがとうございます。同一の漸近線を共有する二つ（あるいはそれ以上の）グラフが漸近線から遠く離れているときには言うまでもなく違って見えても逆に漸近線に近付けば近付くほどお互いに重なってきてついには同じものになってしまわないかというつもりでした。

回答No.1

stomachman

漸近線というものは直線です。「最終的に」も何も、あらゆる漸近線は直線であるから、当然、図形として相似であり、合同である。

　おそらく、ご質問は「漸近線が相似かどうか」ということではなく、「漸近線に漸近する曲線はどれも似たようなものなのか」という話じゃないでしょうか。それらには、「放物線は互いに相似」「円は互いに相似」であるのと似たような簡単な幾何学的性質はありません。

　放物線の場合には、まず軸がy軸の方を向くように回転し、さらに適当に平行移動すれば
　　y=a(x^2) （ただしa≠0）
という式で表されるようになるから、この放物線(y=a(x^2))と合同であることが分かる。そこでx軸y軸をそれぞれ
　　X = a x
　　Y = a y
によって均一に引き延ばしてやると、
　　Y/a = (a/(a^2))(X^2)
だから
　　Y = X^2
が得られる。つまり、どんな放物線も放物線Y = X^2と相似であることが分かります。しかしこれは放物線（や円）のごく特殊な事情です。実際、楕円の場合、楕円というだけじゃ相似とは限らない。

　さて（相似ではないが）楕円を短軸方向に均一に引き延ばせば円になります。同様の変換を許すなら、楕円も双曲線も一つの標準形に変換できます。
　しかし、漸近線を持つ曲線、というだけじゃ、どっちかの方向に均一に引き延ばすということを許してもなお、同じ形には変換できません。漸近線への近づき方が様々だからです。最も簡単な例は
　y=1/x
と
　y = 1/(10^x)
でしょう。どちらもx軸は漸近線ですが、どっち方向に均一に引き延ばしても同じにはなりませんで、後者を
Y = y
X = 10^x
のように、つまりx軸を場所によって不均一に伸ばす、ということをしてようやく同じ形になります。

　さて、こういう不均一な伸び縮みを許すのであれば、漸近線を持つ曲線の場合もどれも同じ形にできますが、もちろん伸ばし方はそれぞれ異なっています。

お礼

私の愚かなミスを的確にご訂正いただいたうえでご丁寧に説明していただき感謝いたします。どうもトポロジー的なイメージがきちんと把握できていないのだろうと想像しています。

補足

漸近線に限りなく近づいても同一ではないといことがどうしても理解できません。